Глава VII. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Целью настоящей главы является рассмотрение свойств и методов решения начально-краевых задач для уравнения колебаний

Это уравнение мы будем рассматривать как с постоянными, так и с переменными коэффициентами, в ограниченной области и в неограниченном пространстве. Причем рассмотрение будет одновременно проводиться для случая как одной, так и многих пространственных переменных.

Мы начнем с рассмотрения обоснования постановки начально-краевой задачи для уравнения колебаний в ограниченной области.

§ 1. ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

Пусть задана ограниченная область с кусочно-гладкой границей допускающей применение формул Грина. Начально-краевая задача для уравнения колебаний области заключается в определении в цилиндре функции удовлетворяющей уравнению колебаний, начальным и граничному условиям:

где

Определение классического решения задачи (1.1) — (1.3) было дано в гл. III. Напомним его.

Определение. Классическим решением начально-краевой задачи (1.1) — (1.3) называется функция непрерывная вместе с первыми производными в замкнутом цилиндре имеющая непрерывные производные второго порядка в открытом цилиндре удовлетворяющая в уравнению (1.1), начальным условиям (1.2) и граничному условию (1.3).

Если граничное условие (1.3) есть условие Дирихле то непрерывность первых производных по в замкнутой области не требуется.

Заметим, что для существования классического решения необходимо (но недостаточно) выполнение условия согласования начального и граничного условий следующего вида:

Будем предполагать, что и причем а

В силу линейности начально-краевой задачи (1.1) — (1.3) можно провести ее редукцию и представить решение в виде суммы решений трех задач (см. гл. III):

-решение начально-краевой задачи для однородного уравнения колебаний с неоднородными начальными и однородными граничными условиями, -решение начально-краевой задачи для неоднородного уравнения колебаний с однородными начальными и граничными условиями, решение начально-краевой задачи для однородного уравнения колебаний с однородными начальными и неоднородными граничными условиями. Причем с помощью методов, изложенных в гл. III, третья задача может быть сведена к первым двум. Поэтому в этой главе мы сосредоточим внимание на построении и изучении решений первых двух задач.

§ 2. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ

Докажем следующую теорему.

Теорема 7.1. Задача (1.1) — (1.3) может иметь только одно классическое решение.

Доказательство. Предположим, что задача (1.1) — (1.3) имеет два классических решения: Рассмотрим их разность:

В силу линейности задачи (1.1) — (1.3) функция является классическим решением следующей однородной начальнокраевой задачи:

где

Используя функцию построим интеграл

Функция неотрицательна: и в силу начальных условий (2.2)

Покажем, что интеграл не изменяется во времени. Для этого вычислим его производную (дифференцирование по под знаком интеграла в (2.4) возможно)

Согласно первой формуле Грина (см. (2.2), § 2 гл. III)

Подставляя (2.7) в (2.6) и учитывая уравнение (2.1), получаем

Для первой краевой задачи и для второй краевой задачи в силу (2.3) из (2.8) находим Следовательно, Согласно Поэтому при всех 0. Для третьей краевой задачи согласно (2.3) и (2.8) получаем

Отсюда

Следовательно,

Из (2.5) и (2.2) следует, что Поэтому при всех

Так как отсюда вытекает, что при всех

Итак, для всех трех краевых задач Учитывая выражение (2.4) для получаем

Следовательно, В силу т. е. Таким образом, задача (2.1) — (2.3) имеет только тривиальное решение, а решение задачи (1.1) — (1.3) единственно.

Замечания.

1) Доказательство теоремы единственности не зависит от размерности пространственной области

2) Используемый при доказательстве теоремы 7.1 интеграл имеет физический смысл полной (кинетической и потенциальной) энергии колебаний системы. Второе слагаемое в левой части формулы (2.9) в случае граничных условий третьего рода имеет физический смысл энергии упругого закрепления.

§ 3. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ

С помощью интеграла энергии введенного в предыдущем параграфе, можно доказать устойчивость в пространстве классического решения начально-краевой задачи (1.1) — (1.3) по правой части уравнения и начальным условиям. Напомним, что, как было показано в гл. III при рассмотрении общей схемы метода разделения переменных, задача с неоднородными граничными условиями всегда может быть сведена к задаче с однородными граничными условиями.

Мы проведем доказательство теоремы устойчивости для одномерной начально-краевой задачи на отрезке:

постоянный коэффициент. Напомним, что, когда задача (3.1), (3.2) является математической моделью задачи о продольных колебаниях упругого стержня, где линейная плотность стержня, коэффициент упругости.

Теорема 7.2. Решение задачи (3.1) — (3.3) устойчиво в пространстве по правой части и начальным данным.

Доказательство. Составим функцию (интеграл энергии)

Для интеграла (3.4) выполнены условия дифференцируемости по параметру. Продифференцировав по параметру получим

где штрих означает производную по

Второй интеграл в правой части формулы (3.5) проинтегрируем по частям, учитывая, что в силу граничных условий (3.3) подстановки обратятся в нуль. В результате, учитывая уравнение (3.1), будем иметь

и, используя неравенство Коши-Буняковского, получим

где норма в пространстве определяется следующим образом:

С другой стороны, из формулы (3.4) вытекает, что

Из неравенств (3.6) и (3.7) следует неравенство

интегрируя которое по получим

Формулы (3.7) и (3.9) дают

Продифференцируем по квадрат нормы функции

и применим неравенство Коши-Буняковского

Отсюда в силу неравенства (3.10) получим неравенство

которое после интегрирования от 0 до примет вид

Двойной интеграл при легко оценивается:

Учтем теперь, что

и поэтому

Окончательно при из неравенств (3.11) и (3.13) получаем

Последнее неравенство означает устойчивость решения задачи по правой части и начальным функциям: для любого найдутся такие положительные постоянные что если выполняются неравенства то при