2. Единственность решения внешних задач в трехмерном случае

Перейдем к изучению единственности решения внешних краевых задач для уравнения Лапласа в трехмерном случае.

Внешняя задача Дирихле ставится следующим образом.

Найти функцию непрерывную в замкнутой области удовлетворяющую уравнению Лапласа в области непрерывно примыкающую к граничному условию

и регулярную на бесконечности.

Заметим (без доказательства), что гармоническая в области функция, равномерно стремящаяся к нулю на бесконечности, является функцией, регулярной в бесконечности. Поэтому при изучении краевых задач для уравнения Лапласа требование регулярности функции на бесконечности будем заменять условием равномерного стремления к нулю на бесконечности:

Итак, рассмотрим внешнюю задачу Дирихле

Теорема 5.6. Внешняя задача Дирихле не может иметь более одного классического решения, регулярного на бесконечности.

Доказательство. Пусть существуют два решения и Разность есть решение однородной задачи

равномерно стремящееся к нулю на бесконечности. Следовательно, для любого существует такое, что

Окружим поверхность сферой достаточно большого радиуса Применяя принцип максимума для уравнения Лапласа в области между и 2, получим

В силу произвольности отсюда получаем всюду в Следовательно, решение внешней задачи Дирихле единственно.

Замечание. Аналогичными рассуждениями можно показать, что для гармонических функций, равномерно стремящихся к нулю на бесконечности, в неограниченной области справедлив принцип максимума. Отсюда, как и для внутренней задачи, сразу вытекает устойчивость решения внешней задачи Дирихле по граничным условиям.

Исследование единственности решения третьей внешней краевой задачи проводится точно так же, как и для внутренней задачи, с использованием формулы Грина.

Аналогичным образом исследуется единственность решения внешней задачи Неймана:

Эта задача, в отличие от внутренней, имеет единственное решение. Действительно, применяя к решению однородной задачи

первую формулу Грина, точно так же, как для внутренней задачи, найдем всюду в Условие на бесконечности дает Следовательно, в т. е. решение внешней задачи Неймана единственно.

Таким образом, из шести основных задач для уравнения Лапласа (трех внутренних и трех внешних) в трехмерном случае неединственное решение, определяемое с точностью до постоянной, имеет только одна задача — внутренняя задача Неймана. Решение остальных краевых задач единственно.