Главная > Лекции по математической физике
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 6. ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ... В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

При изучении уравнения в неограниченной области ситуация более сложная. Решения (2.3), (2.4), полученные в § 2, на бесконечности убывают одинаково. Требования равномерного стремления к нулю на бесконечности явно недостаточно для выделения единственного решения. Нужны более тонкие условия. В этом параграфе будут сформулированы сначала физические условия, а затем и математические условия на бесконечности, и доказана соответствующая теорема единственности.

1. Условия излучения

Рассмотрим в неограниченном пространстве уравнение

где локальная функция. В § 2 было установлено, что решение уравнения (6.1) можно рассматривать как амплитуду установившихся гармонических колебаний (волн), создаваемых локальным источником с амплитудой Поскольку функция локальна, то источники волн расположены в конечной области пространства, и от этих источников на бесконечность уходят волны, которые вдали от источников ведут себя как уходящие сферические волны. Поэтому физическим условием, выделяющим единственное решение уравнения является следующее требование: найти решение, соответствующее уходящим на бесконечность волнам. Теперь нужно

оформить это требование математически, т. е. сформулировать такие математические условия, которые бы выделяли единственное решение уравнения (6.1) (соответствующее уходящим на бесконечность волнам).

Чтобы сформулировать эти условия, снова рассмотрим уравнение колебаний

В одномерном случае оно имеет вид

и допускает решение в виде плоских волн:

распространяющейся в положительном направлении оси х, и

распространяющейся в отрицательном направлении оси х. Легко проверить, что каждая из них удовлетворяет «своему» соотношению:

и не удовлетворяет «чужому». Если рассматривать установившиеся гармонические волны с временной зависимостью

то эти соотношения принимают вид

для волны, распространяющейся в положительном направлении оси

для волны, распространяющейся в отрицательном направлении оси х.

В этих формулах для нас существенным является то, что знак в этих условиях выделяет волну определенного направления.

Отметим, что при выбранной временной зависимости в виде комплекснозначной функции амплитуда установившихся колебаний также, вообще говоря, оказывается комплекснозначной функцией. В этом случае для нее часто применяется термин «комплексная амплитуда».

Рассмотрим теперь сферические волны, т. е. сферически-симметричные решения уравнения колебаний в пространстве:

Это уравнение можно переписать в виде

Следовательно, для функции получается одномерное уравнение колебаний, общее решение которого имеет вид

Итак, сферические волны в пространстве имеют вид

Первая из них — представляет волну, уходящую на бесконечность (уходящая сферическая волна), вторая — — волну, приходящую из бесконечности.

По аналогии с одномерным случаем рассмотрим дифференциальные выражения

Для волны

Функции естественно считать ограниченными. Поэтому

Аналогично

Опять рассмотрим установившиеся гармонические волны с временной зависимостью

Тогда получаем соотношения для расходящихся волн:

и для сходящихся волн:

Опять видно, что условия, которым удовлетворяют сходящиеся и расходящиеся сферические волны, различны.

Поскольку физически ясно, что волна, созданная источниками, расположенными в конечной области, вдали от источников подобна уходящей сферической волне, то естественно предположить, что математическими условиями, выделяющими уходящие (расходящиеся) волны, будут условия

Условия (6.2) называются условиями излучения, или условиями Зоммерфельда. Первое из условий (6.2) означает, что при ведет себя как сферическая волна, второе — что эта волна, уходящая на бесконечность. Далее мы покажем, что условия излучения (6.2) действительно выделяют единственное решение уравнения (6.1).

Сначала покажем, что условия (6.2) из фундаментальных решений (2.3), (2.4) выделяют только одно.

Введем сферическую систему координат. Пусть точка имеет координаты точка Тогда

где Следовательно, при и фиксированном значении

Поэтому

независимо от положения точки находящейся на конечном расстоянии от начала координат.

Следовательно, решение при фиксированном положении точкй -оо удовлетворяет условиям излучения (6.2). Легко проверить, что два других решения (2.3), (2.4) условиям (6.2) не удовлетворяют. Таким образом, условия (6.2) выделяют единственное решение из (2.3), (2.4).

Теорема 8.7. Уравнение где локальная функция, в неограниченном пространстве не может иметь более одного решения, удовлетворяющего на бесконечности условиям излучения

Доказательство. Пусть существуют два решения поставленной задачи. Функция является решением однородного уравнения удовлетворяющим условиям излучения на бесконечности.

Пусть сфера радиуса с центром в начале координат. Внутри шара, ограниченного сферой справедлива третья формула Грина

Заметим, что взята третья формула Грина с тем фундаментальным решением, которое удовлетворяет условиям излучения на бесконечности. Оценим подынтегральную функцию в (6.3) при Используя условия на бесконечности, получим

Эта оценка показывает, что при интеграл по в (6.3) стремится к нулю. Следовательно, т. е.

Заметим, что условие при является следствием второго условия доказательстве этого факта мы не останавливаемся. Это условие нами сохранено для упрощения доказательства теоремы единственности.

Рассуждениями, аналогичными тем, которые использовались при доказательстве этой теоремы, можно показать, что

для функций, удовлетворяющих условиям излучения на бесконечности, справедливы формулы Грина во внешней неограниченной области.

Как мы установили, фундаментальное решение

удовлетворяет условиям излучения. Поэтому тем же условиям на бесконечности будет удовлетворять и объемный потенциал

построенный на его основе. Отсюда сразу следует, что при соответствующих ограничениях на функция

является единственным решением уравнения удовлетворяющим условиям излучения на бесконечности.

С помощью установленной формулы Грина для уравнения Гельмгольца во внешней неограниченной области могут быть доказаны и теоремы единственности решений внешних краевых задач для этого уравнения, удовлетворяющих условиям излучения на бесконечности. Однако эти доказательства требуют привлечения дополнительных аналитических свойств решений однородного уравнения Гельмгольца и ряда вспомогательных рассмотрений, которые здесь приводить не будем.

Сделаем еще одно важное замечание об условиях излучения. Условие

согласовано с выбранной временной зависимостью и выделяет уходящую волну только при этой временной зависимости. Если временная зависимость выбрана в виде то условие, выделяющее уходящую волну, имеет вид

Это означает, что если временная гармоническая зависимость известна заранее, то в соответствии с ней выбираются условия на бесконечности.

Если временная зависимость заранее не известна, то на бесконечности можно поставить как условие (6.4), так и условие (6.5). И то и другое условия будут выделять единственное

решение уравнения но эти решения будут различны. А при физической интерпретации решения следует учитывать нужную временную зависимость, которая соответствует расходящимся волнам.

В двумерном случае условия излучения имеют вид

при временной зависимости или

при временной зависимости Первое условие в (6.6) и (6.7) также является следствием второго. Доказательство теорем единственности проводится аналогично.

1
Оглавление
email@scask.ru