§ 6. ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ... В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

При изучении уравнения в неограниченной области ситуация более сложная. Решения (2.3), (2.4), полученные в § 2, на бесконечности убывают одинаково. Требования равномерного стремления к нулю на бесконечности явно недостаточно для выделения единственного решения. Нужны более тонкие условия. В этом параграфе будут сформулированы сначала физические условия, а затем и математические условия на бесконечности, и доказана соответствующая теорема единственности.

1. Условия излучения

Рассмотрим в неограниченном пространстве уравнение

где локальная функция. В § 2 было установлено, что решение уравнения (6.1) можно рассматривать как амплитуду установившихся гармонических колебаний (волн), создаваемых локальным источником с амплитудой Поскольку функция локальна, то источники волн расположены в конечной области пространства, и от этих источников на бесконечность уходят волны, которые вдали от источников ведут себя как уходящие сферические волны. Поэтому физическим условием, выделяющим единственное решение уравнения является следующее требование: найти решение, соответствующее уходящим на бесконечность волнам. Теперь нужно

оформить это требование математически, т. е. сформулировать такие математические условия, которые бы выделяли единственное решение уравнения (6.1) (соответствующее уходящим на бесконечность волнам).

Чтобы сформулировать эти условия, снова рассмотрим уравнение колебаний

В одномерном случае оно имеет вид

и допускает решение в виде плоских волн:

распространяющейся в положительном направлении оси х, и

распространяющейся в отрицательном направлении оси х. Легко проверить, что каждая из них удовлетворяет «своему» соотношению:

и не удовлетворяет «чужому». Если рассматривать установившиеся гармонические волны с временной зависимостью

то эти соотношения принимают вид

для волны, распространяющейся в положительном направлении оси

для волны, распространяющейся в отрицательном направлении оси х.

В этих формулах для нас существенным является то, что знак в этих условиях выделяет волну определенного направления.

Отметим, что при выбранной временной зависимости в виде комплекснозначной функции амплитуда установившихся колебаний также, вообще говоря, оказывается комплекснозначной функцией. В этом случае для нее часто применяется термин «комплексная амплитуда».

Рассмотрим теперь сферические волны, т. е. сферически-симметричные решения уравнения колебаний в пространстве:

Это уравнение можно переписать в виде

Следовательно, для функции получается одномерное уравнение колебаний, общее решение которого имеет вид

Итак, сферические волны в пространстве имеют вид

Первая из них — представляет волну, уходящую на бесконечность (уходящая сферическая волна), вторая — — волну, приходящую из бесконечности.

По аналогии с одномерным случаем рассмотрим дифференциальные выражения

Для волны

Функции естественно считать ограниченными. Поэтому

Аналогично

Опять рассмотрим установившиеся гармонические волны с временной зависимостью

Тогда получаем соотношения для расходящихся волн:

и для сходящихся волн:

Опять видно, что условия, которым удовлетворяют сходящиеся и расходящиеся сферические волны, различны.

Поскольку физически ясно, что волна, созданная источниками, расположенными в конечной области, вдали от источников подобна уходящей сферической волне, то естественно предположить, что математическими условиями, выделяющими уходящие (расходящиеся) волны, будут условия

Условия (6.2) называются условиями излучения, или условиями Зоммерфельда. Первое из условий (6.2) означает, что при ведет себя как сферическая волна, второе — что эта волна, уходящая на бесконечность. Далее мы покажем, что условия излучения (6.2) действительно выделяют единственное решение уравнения (6.1).

Сначала покажем, что условия (6.2) из фундаментальных решений (2.3), (2.4) выделяют только одно.

Введем сферическую систему координат. Пусть точка имеет координаты точка Тогда

где Следовательно, при и фиксированном значении

Поэтому

независимо от положения точки находящейся на конечном расстоянии от начала координат.

Следовательно, решение при фиксированном положении точкй -оо удовлетворяет условиям излучения (6.2). Легко проверить, что два других решения (2.3), (2.4) условиям (6.2) не удовлетворяют. Таким образом, условия (6.2) выделяют единственное решение из (2.3), (2.4).

Теорема 8.7. Уравнение где локальная функция, в неограниченном пространстве не может иметь более одного решения, удовлетворяющего на бесконечности условиям излучения

Доказательство. Пусть существуют два решения поставленной задачи. Функция является решением однородного уравнения удовлетворяющим условиям излучения на бесконечности.

Пусть сфера радиуса с центром в начале координат. Внутри шара, ограниченного сферой справедлива третья формула Грина

Заметим, что взята третья формула Грина с тем фундаментальным решением, которое удовлетворяет условиям излучения на бесконечности. Оценим подынтегральную функцию в (6.3) при Используя условия на бесконечности, получим

Эта оценка показывает, что при интеграл по в (6.3) стремится к нулю. Следовательно, т. е.

Заметим, что условие при является следствием второго условия доказательстве этого факта мы не останавливаемся. Это условие нами сохранено для упрощения доказательства теоремы единственности.

Рассуждениями, аналогичными тем, которые использовались при доказательстве этой теоремы, можно показать, что

для функций, удовлетворяющих условиям излучения на бесконечности, справедливы формулы Грина во внешней неограниченной области.

Как мы установили, фундаментальное решение

удовлетворяет условиям излучения. Поэтому тем же условиям на бесконечности будет удовлетворять и объемный потенциал

построенный на его основе. Отсюда сразу следует, что при соответствующих ограничениях на функция

является единственным решением уравнения удовлетворяющим условиям излучения на бесконечности.

С помощью установленной формулы Грина для уравнения Гельмгольца во внешней неограниченной области могут быть доказаны и теоремы единственности решений внешних краевых задач для этого уравнения, удовлетворяющих условиям излучения на бесконечности. Однако эти доказательства требуют привлечения дополнительных аналитических свойств решений однородного уравнения Гельмгольца и ряда вспомогательных рассмотрений, которые здесь приводить не будем.

Сделаем еще одно важное замечание об условиях излучения. Условие

согласовано с выбранной временной зависимостью и выделяет уходящую волну только при этой временной зависимости. Если временная зависимость выбрана в виде то условие, выделяющее уходящую волну, имеет вид

Это означает, что если временная гармоническая зависимость известна заранее, то в соответствии с ней выбираются условия на бесконечности.

Если временная зависимость заранее не известна, то на бесконечности можно поставить как условие (6.4), так и условие (6.5). И то и другое условия будут выделять единственное

решение уравнения но эти решения будут различны. А при физической интерпретации решения следует учитывать нужную временную зависимость, которая соответствует расходящимся волнам.

В двумерном случае условия излучения имеют вид

при временной зависимости или

при временной зависимости Первое условие в (6.6) и (6.7) также является следствием второго. Доказательство теорем единственности проводится аналогично.