§ 7. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

В случае эллиптического уравнения метод Фурье превращается в метод разложения решения по собственным функциям соответствующей задачи Штурма-Лиувилля. Рассмотрим краевую задачу

с однородным граничным условием

где

Пусть системы собственных значений и ортонормированных собственных функций следующей задачи Штурма-Лиувилля:

Заметим, что собственные функции задачи (7.3) ортогональны с весом

Решение задачи (7.1) — (7.2) может быть разложено по собственным функциям:

Коэффициенты разложения (7.4) определим энергетическим методом. Для этого уравнение (7.1) домножим на и проинтегрируем по области

Используя вторую формулу Грина и учитывая однородные граничные условия (7.2), отсюда получаем

где

Из соотношения (7.6) вытекают следующие утверждения.

1. Пусть при всех Тогда

и решение принимает вид

В этом случае решение единственно.

2. Пусть при где

Если то соотношение (7.6) при теряет смысл. Это означает, что в этом случае задача (7.1), (7.2) решения не имеет. Если же для всех то все коэффициенты кроме определяются однозначно:

коэффициенты анеопределенны, и решение принимает вид

где произвольные постоянные. В этом случае решение существует, но неединственно.

Таким образом, при необходимым условием разрешимости задачи (7.1), (7.2) является выполнение равенств

т. е. правая часть должна быть ортогональна всем собственным функциям, соответствующим собственному значению

Это условие является также и достаточным условием разрешимости задачи (7.1), (7.2). Более подробное исследование вопросов разрешимости задачи (7.1), (7.2) здесь проводить не будем. Отметим только, что оно может быть проведено методами теории потенциалов, которые будут изложены в гл.

Общую краевую задачу для эллиптического уравнения заменой неизвестной функции всегда можно свести к задаче (7.1), (7.2).

Для того случая, когда задача (7.1), (7.2) имеет и при этом единственное решение при всех решение (7.7) приведем к интегральному виду. Подставляя в (7.7) явное выражение для и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим

где

Определение. Функция называется функцией Грина оператора с граничными условиями (7.2).