5. Поверхности Ляпунова

Для существования потенциала двойного слоя на поверхности нужно наложить более жесткие требования на гладкость поверхности Выделим класс поверхностей, называемых поверхностями Ляпунова.

Определение. Поверхность называется поверхностью Ляпунова, если выполнены следующие условия.

1. В каждой точке поверхности существует определенная нормаль (или касательная плоскость).

2. Существует такое число что прямые, параллельные нормали в точке поверхности пересекают не более одного

раза часть поверхности лежащую внутри сферы радиуса с центром в точке

3 Угол между нормалями в точках поверхности удовлетворяет условию

где

При этом точка принадлежит части поверхности находящейся внутри сферы радиуса с центром в точке

Получим некоторые оценки, необходимые нам в дальнейшем. Пусть некоторая точка поверхности Введем локальную систему координат с началом в точке направив ось вдоль внешней нормали в точке Плоскость при этом совпадает с касательной плоскостью. В силу условия 2 существует такое что уравнение поверхности при может быть записано в виде

причем однозначная непрерывно дифференцируемая функция. Получим оценки для функции и ее первых производных в указанной окрестности. Направляющие косинусы внешней нормали в точке поверхности при выражаются формулами

Обозначим через проекцию вектора на плоскость а через а и углы, образованные вектором с осями х и у:

Так как в силу выбора системы координат то можно выбрать достаточно малой так, что

Тогда

в силу условия 3. Аналогично

Используя формулу Тейлора для функции в указанной окрестности получим

где Отсюда находим

Полученные оценки используются при изучении дальнейших свойств поверхностных потенциалов.