§ 13. УРАВНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ГОРЕНИЯ

До сих пор мы рассматривали процессы, математической моделью которых является начально-краевая задача для линейного уравнения параболического типа с линейными дополнительными условиями. Простейшим примером является одномерное уравнение теплопроводности (7.7). В этом параграфе мы кратко остановимся на математических моделях

физических процессов, описываемых одномерным квазилинейным уравнением теплопроводности, содержащим источник объемного выделения тепла:

где некоторые постоянные. Функция обозначает температуру сплошной среды в каждой ее точке в момент времени Первый член в правой части уравнения (13.1) описывает механизм нелинейной теплопроводности, причем коэффициент теплопроводности зависит от температуры по нелинейному закону. Второй член в правой части уравнения (13.1) описывает процесс энерговыделения. Фактически — это мощность источника тепла. Этот член описывает процесс горения сплошной среды. Интенсивность горения зависит от температуры по нелинейному закону, причем безразмерный показатель больше единицы (сверхинтенсивное горение).

Уравнение (13.1) мы будем рассматривать на бесконечной прямой Для полной формулировки задачи инициирования процесса горения необходимо задать начальное тепловое возмущение. В результате приходим к следующей задаче Коши:

Отметим, что для корректной постановки задачи (13.2), (13.3) функция должна отвечать некоторым дополнительным требованиям. Задание с помощью функции распределенной в пространстве специальным образом начальной тепловой энергии приводит к горению среды, причем ввиду нелинейности уравнения (13.2) интенсивность горения, а также теплоперенос в различных участках прямой протекают различным образом. С течением времени в среде возникают меняющиеся в пространстве и во времени распределения температуры, называемые обычно тепловыми структурами.

Физический процесс, описываемый уравнением, заключается в конкуренции двух нелинейных процессов. С одной стороны, наличие нелинейной теплопроводности приводит к выравниванию тепловых неоднородностей, к созданию стационарного распределения температуры. С другой стороны, в процессе горения происходит выделение тепловой энергии, что может приводить к росту температуры. Причем чем выше температура, тем выше интенсивность тепловыделения. Но в то же время с ростом температуры увеличивается и коэффициент теплопроводности.

Одним из главных результатов конкуренции нелинейных процессов теплопередачи и тепловыделения является эффект локализации процесса горения, который в данном конкретном случае выступает как проявление процесса самоорганизации

нелинейной диссипативной среды. Он может приводить к возникновению в среде целого набора различных структур, не взаимодействующих друг с другом.

С помощью преобразования переменных

запишем уравнение (13.2) в безразмерном виде (черточки над опускаем):

Свойства решений уравнения (13.4) существенно различаются в случаях

Рассмотрим частный случай уравнения (13.4), когда в среде горения нет и тепло распространяется за счет теплопроводности:

Уравнение (13.5) имеет частные решения специального вида, так называемые точные автомодельные решения, выражающиеся через функцию одного аргумента, который в свою очередь является определенной комбинацией независимых переменных Чтобы получить такое решение уравнения (13.5), будем искать в виде

где

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что функция данного вида удовлетворяет уравнению (13.5), если функция является решением обыкновенного дифференциального уравнения

где в свою очередь, — решение обыкновенного дифференциального уравнения

Одно из полученных таким путем частных автомодельных решений уравнения (13.5) — решение Зельдовича-Компанейца-Баренблатта - имеет следующий вид:

где физический смысл постоянной будет ясен из дальнейшего.

Функция для различных моментов времени изображена на рис. 6.2. За счет механизма нелинейной теплопроводности происходит быстрое растекание локального начального возмущения с максимальной температурой в точке

Рис. 6.2

В начальный момент времени температура в точке бесконечно велика, но в остальных точках бесконечной прямой она равна нулю: при В точке с течением времени температура уменьшается по закону м в пределе при происходит выравнивание температуры по всей бесконечной прямой Решение (13.6) называется решением типа мгновенного точечного источника, поскольку функция физически означает температуру точки х бесконечной прямой в момент времени если возбуждение осуществлялось мгновенным точечным источником мощности действовавшим в точке в момент времени Таким образом, функция является аналогом фундаментального решения уравнения теплопроводности, введенного в § 7. Однако решение (13.6) существенно отличается от фундаментального решения (7.16). Функция в каждый момент времени является финитной, т. е. решение строго положительно на конечном интервале Тем самым уравнение (13.5) описывает тепловые волны — тепловые процессы с конечной скоростью распространения возмущений. При этом есть координата правого фронта тепловой волны, а координата левого фронта. Это принципиальное отличие механизма нелинейной теплопроводности, описываемого уравнением (13,5), от линейного механизма передачи тепла, описываемого уравнением (7.7). Отметим, что это свойство имеет место и при наличии в среде источников тепла вида

Пусть теперь в среде имеется источник тепловой энергии, соответствующий

Если искать автомодельное решение (13.7) в виде

то для функции получим обыкновенное дифференциальное уравнение

откуда соответствующее автомодельное решение уравнения (13.7) получим в виде

где время существования решения, длина носителя решения в любой момент времени. В отличие от решения Зельдовича-Компанейца-Баренблатта уравнения (13.5) решение (13.8) уравнения (13.7) локализовано в области вне которой температура остается равной нулю. Тепловые фронты структуры (13.8) неподвижны в течение всего времени ее существования: координата правого фронта тепловой волны, координата левого фронта. При этом во всех точках интервала температура неограниченно возрастает по мере приближения к моменту В центре структуры температура растет по закону

Такие тепловые структуры называются режимами с обострением, а соответствующие решения уравнения (13.7) или более общего уравнения (13.2) называются неограниченными решениями.

Тепловая структура (13.8) называется локализованным -режимом с обострением и представляет собой стоячую температурную волну.

Рассмотрим теперь уравнение (13.2) при

Фиксируем время существования тепловой структуры и рассмотрим выражение

где неизвестная функция. Подставив (13.10) в уравнение (13.9), получим, что На является решением нелинейного

ного параболического уравнения (13.9), если функция решение обыкновенного дифференциального уравнения

Это решение представляет собой функцию, строго положительную на интервале и равную нулю вне его. Конкретный вид функции и величину определяющую положение фронтов соответствующей тепловой структуры, можно найти численно.

Из формулы (13.10) вытекают следующие свойства изучаемой тепловой структуры. Во-первых, эта структура развивается в режиме с обострением. Значение максимальной температуры в центре структуры неограниченно возрастает по закону

Во-вторых, в любой момент времени тепловая структура имеет конечные фронты в точках которые определяются из равенства Следовательно, правый и левый фронты движутся по законам

В-третьих, из последней формулы следует, что фронты тепловой структуры движутся со все увеличивающейся скоростью, в пределе, в момент обострения тепловая структура охватывает всю прямую нагревая ее всюду до бесконечной температуры.

Такой процесс горения, описываемый уравнением (13.9), называется -режимом.

И наконец, рассмотрим уравнение (13.2) при

В этом уравнении мощность источника энерговыделения при больших температурах выше, чем в -режиме и тем более -режиме Поэтому возникающие тепловые структуры должны быть локализованными, причем локализация должна проявляться более сильно, чем в -режиме горения с обострением.

Уравнение допускает решение следующего вида:

где время обострения решения. Подставив (13.12) в уравнение (13.11), получим уравнение для функции

В отличие от случая -режима функция строго положительна всюду, причем при больших значениях она имеет следующую асимптотику:

где постоянная, которую можно найти численно.

Из формулы (13.12) следует, что в отличие от -режима решение (13.12) не может описывать локализацию процесса горения в строгом смысле. Локализация понимается в эффективном смысле. Решение растет со временем во всех точках, но неограниченный рост температуры в режиме с обострением имеет место только в одной точке Развитие тепловой структуры приводит к тому, что температура прямой остается ограниченной во всех точках, за исключением точки Температура ограничена сверху некоторым предельным распределением которое получается из (13.12) после предельного перехода

Процесс горения, описываемый уравнением (13.11), называется -режимом. В энергетическом смысле этот режим определяет еще более сильную локализацию тепла, чем в случае -режима. В -режиме температура неограниченно растет на интервале длины а в случае -режима — только в одной точке, и выделившаяся на развитой стадии горения тепловая энергия практически вся локализуется во все сужающейся со временем окрестности точки максимума температуры.

Итак, при различных показателях интенсивности горения развивающиеся в режиме обострения тепловые структуры принимают формы и -режимов, обладающие разными свойствами. Исследование нелинейных математических моделей эволюции диссипативных процессов в сплошных средах позволяет сделать вывод, что на развитой стадии более сложных существенно нестационарных процессов, как правило, обнаруживаются черты, свойственные одному из этих режимов.

Если задача допускает неограниченное решение, то она называется глобально (по времени) неразрешимой. Исследования пространственно-временной структуры неограниченных решений вблизи момента обострения связаны с широким использованием в практике физических экспериментов разнообразных эффектов, порождаемых сверхбыстрыми процессами, например эффекта самофокусировки световых пучков в нелинейных средах, коллапса ленгмюровских волн в плазме и др. Большое значение имеет исследование особых режимов сжатия в задачах, связанных с лазерным термоядерным синтезом.