7. Функция Грина задачи Дирихле на плоскости

Остановимся на вопросе построения функции Грина для внутренней задачи Дирихле на плоскости.

Определение. Функция называется функцией Грина внутренней задачи Дирихле на плоскости, если:

1) , где гармоническая в области функция;

замкнутый контур, являющийся границей области Решение задачи Дирихле

через функцию Грина выражается следующим образом:

Эта формула выводится точно так же, как и в трехмерном случае.

Для построения функции Грина на плоскости можно использовать методы теории функций комплексной переменной. Напомним основные факты, отсылая за доказательствами их к учебникам по теории функций комплексной переменной. Точку на плоскости будем обозначать как точку на плоскости комплексной переменной. Пусть функция осуществляет конформное отображение области на круг единичного радиуса причем точка переходит в центр круга Тогда функция

является функцией Грина задачи Дирихле в области

Заметим, что формула (4.33) остается справедливой и в случае односвязной внешней области содержащей бесконечно удаленную точку комплексной плоскости.

Методом конформного отображения можно построить функцию Грина для круга, которая имеет вид

где точка, сопряженная точке относительно круга радиуса

Получим интеграл Пуассона для круга. Так как

то

Следовательно, решение краевой задачи

имеет вид

Эта формула называется интегралом Пуассона для круга. Она дает классическое решение задачи Дирихле внутри круга при любой непрерывной функции

Отметим, что решение внешней задачи Дирихле вне круга радиуса а также выражается интегралом Пуассона (4.34), в котором множитель нужно заменить на