Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Перейдем к изучению краевых задач в неограниченной области. Такие краевые задачи называются внешними.
Введем обозначения: конечная область, ограниченная замкнутой поверхностью неограниченная область, границей которой является поверхность все пространство (рассматривается трехмерный случай).
1. Функции, регулярные на бесконечности
Определение. Функция трех переменных называется регулярной на бесконечности, если при достаточно большом
где А — постоянная.
Понятие регулярной на бесконечности функции двух переменных будет введено позже.
Покажем, что для функций, регулярных на бесконечности, в неограниченной области справедливы формулы Грина.
Пусть в области заданы функции и и непрерывные вместе с первыми производными в имеющие непрерывные вторые производные в и регулярные на бесконечности.
Окружим поверхность сферой достаточно большого радиуса Область между обозначим В области справедлива первая формула Грина
Оценим интеграл по
Здесь направляющие косинусы нормали к 2, и при оценке использованы условия регулярности на бесконечности. Подынтегральная функция в интеграле по в силу условий регулярности на бесконечности имеет следующую оценку при
Поэтому интеграл по при сходится к несобственному интегралу (первого рода) по Следовательно, переходя к пределу при в формуле (3.1), получим
где интеграл в левой части формулы (3.2) понимается как несобственный интеграл по Формула (3.2) есть первая формула Грина для неограниченной области Меняя местами функции и и и вычитая полученное соотношение из (3.2), получим вторую формулу Грина для неограниченной области. Если учесть, что фундаментальное решение уравнения Лапласа регулярно на бесконечности, то, повторяя рассуждения , получим и третью формулу Грина для неограниченной области Еще раз отметим, что в формулах Грина нормаль есть нормаль к поверхности внешняя по отношению к той области, в которой применяются формулы Грина. Поэтому при использовании формул Грина в неограниченной области эта нормаль направлена внутрь ограниченной области с поверхностью
конечная область, ограниченная замкнутой поверхностью 
неограниченная область, границей которой является поверхность 
все пространство (рассматривается трехмерный случай).
трех переменных 
называется регулярной на бесконечности, если при достаточно большом 
справедливы формулы Грина.
заданы функции и и 
непрерывные вместе с первыми производными в 
имеющие непрерывные вторые производные в 
и регулярные на бесконечности.
сферой 
достаточно большого радиуса 
Область между 
обозначим 
В области 
справедлива первая формула Грина
направляющие косинусы нормали к 2, и при оценке использованы условия регулярности на бесконечности. Подынтегральная функция в интеграле по 
в силу условий регулярности на бесконечности имеет следующую оценку при 
при 
сходится к несобственному интегралу (первого рода) по 
Следовательно, переходя к пределу при 
в формуле (3.1), получим
Формула (3.2) есть первая формула Грина для неограниченной области 
Меняя местами функции и и 
и вычитая полученное соотношение из (3.2), получим вторую формулу Грина для неограниченной области. Если учесть, что фундаментальное решение 
уравнения Лапласа регулярно на бесконечности, то, повторяя рассуждения 
, получим и третью формулу Грина для неограниченной области 
Еще раз отметим, что в формулах Грина нормаль 
есть нормаль к поверхности 
внешняя по отношению к той области, в которой применяются формулы Грина. Поэтому при использовании формул Грина в неограниченной области 
эта нормаль направлена внутрь ограниченной области 
с поверхностью 
