2. Теорема единственности

Теорема 6.8. Задача (7.1), (7.2) может иметь только одно классическое решение, ограниченное в области

Доказательство. Предположим противное. Пусть и -два классических ограниченных решения задачи (7.1), (7.2). Функции непрерывны и ограничены в области Рассмотрим функцию равную разности этих функций:

Функция непрерывна в области ограничена удовлетворяет в области однородному уравнению теплопроводности

и однородному начальному условию

Однако применить к функции принцип максимума, подобно тому как это было сделано в § 3, нельзя, поскольку в неограниченной по х области функция может нигде не принимать максимального значения.

Чтобы воспользоваться принципом максимума, рассмотрим ограниченную по х область

где вспомогательное число, которое будем затем неограниченно увеличивать. Обозначим

Введем вспомогательную функцию (ее обычно называют барьером)

Функция непрерывна в области и удовлетворяет в области однородному уравнению теплопроводности (что проверяется непосредственно). Кроме того, функции связаны следующими неравенствами:

В ограниченной области уже справедлив принцип максимума. Применяя принцип сравнения 1 к функциям — и к функциям с учетом (7.4) и (7.5) получим

Зафиксируем точку и перейдем в формуле (7.6) к пределу при Тогда по известной теореме анализа получим

Отсюда в силу независимости функции от и в силу произвольности точки получаем, что всюду в области функция Поэтому всюду в области т. е. решение единственно.