Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Теорема 6.8. Задача (7.1), (7.2) может иметь только одно классическое решение, ограниченное в области
Доказательство. Предположим противное. Пусть и -два классических ограниченных решения задачи (7.1), (7.2). Функции непрерывны и ограничены в области Рассмотрим функцию равную разности этих функций:
Функция непрерывна в области ограничена удовлетворяет в области однородному уравнению теплопроводности
и однородному начальному условию
Однако применить к функции принцип максимума, подобно тому как это было сделано в § 3, нельзя, поскольку в неограниченной по х области функция может нигде не принимать максимального значения.
Чтобы воспользоваться принципом максимума, рассмотрим ограниченную по х область
где вспомогательное число, которое будем затем неограниченно увеличивать. Обозначим
Введем вспомогательную функцию (ее обычно называют барьером)
Функция непрерывна в области и удовлетворяет в области однородному уравнению теплопроводности (что проверяется непосредственно). Кроме того, функции связаны следующими неравенствами:
В ограниченной области уже справедлив принцип максимума. Применяя принцип сравнения 1 к функциям — и к функциям с учетом (7.4) и (7.5) получим
Зафиксируем точку и перейдем в формуле (7.6) к пределу при Тогда по известной теореме анализа получим
Отсюда в силу независимости функции от и в силу произвольности точки получаем, что всюду в области функция Поэтому всюду в области т. е. решение единственно.