§ 9. НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ

Рассмотрим задачу для неоднородного уравнения теплопроводности с однородными начальными условиями на бесконечной прямой:

Напомним, что фундаментальное решение

физически означает температуру в точке х в момент времени при мгновенном возбуждении бесконечной прямой в момент времени точечным источником тепла мощности в точке Функция есть температура бесконечной прямой в точке х в момент времени при возбуждении в момент времени точечным источником мощности в точке Поэтому ясно, что функция удовлетворяет уравнению

(это не противоречит тому, что при функция удовлетворяет уравнению

Воспользовавшись принципом суперпозиции, можно записать следующую формулу для решения задачи (9.1), (9.2):

где

Мы получили формулу (9.5) на физическом уровне строгости. Для строгого вывода формулы (9.5) используем преобразование Фурье с ядром Обозначим образы Фурье функций соответственно через

Будем предполагать, что функция и ее частные производные достаточно быстро стремятся к нулю при Тогда для этой функции существует интеграл Фурье. Будем также предполагать, что первый интеграл (9.6) можно дифференцировать под знаком интеграла.

Умножим обе части уравнения (9.1) на и проинтегрируем по х от до В результате получим

Проинтегрируем по частям интеграл в правой части формулы (9.7), учитывая, что подстановки обратятся в нуль. Учитывая однородное начальное условие (9.2), получим, что задаче (9.1) — (9.3) в пространстве оригиналов будет соответствовать следующая задача Коши в пространстве образов:

Решение этой задачи запишем с помощью импульсной функции

Наконец, используя формулу обратного преобразования Фурье, будем иметь

откуда, учитывая (7.14), получим (9.5).

Для обоснования полученной путем формального применения преобразования Фурье формулы необходимо показать, что если функция непрерывна по совокупности аргументов и ограничена в то существуют производные функции (9.8), входящие в уравнение (9.1), и их можно вычислять путем дифференцирования подынтегральной функции по параметру. Соответствующие рассмотрения аналогичны проведенным в предыдущем параграфе, и читатель может их провести самостоятельно.

Рассмотрим устойчивость решения задачи (9.1) — (9.2) для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой.

Теорема 6.11. Задача (9.1), (9.2) для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой устойчива по правой части, т. е. для любого найдется такое что если

то

Доказательство. Рассмотрим задачу (9.1), (9.2) для неоднородного уравнения теплопроводности с однородными начальными условиями и обозначим через решение этой задачи, соответствующее правой части где Предположим, что при некотором выполнимо неравенство

Записывая решение с помощью формулы (9.5) и учитывая (9.9), получим

Из неравенств (9.9) и (9.10) вытекает, что малому изменению правых частей соответствует малое изменение решений, что и означает устойчивость решения задачи (9.1), (9.2) по правой части.