2. Интегральное уравнение для внутренней задачи Дирихле

Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле

Будем считатв, что — поверхноств Ляпунова, а функция непрервтна на

Решение задачи (7.4) будем искатв в виде потенциала двойного слоя:

где по-прежнему ядро интегрального представления (7.5) является производной фундаменталвного решения по внешней нормали пр к поверхности При любой непрервтной плотности функция (7.5) удовлетворяет уравнению Лапласа всюду в Плотность определим так, чтобы на поверхности функция (7.5) непрерывно примыкала к граничному условию

причем точка стремится к граничной точке поверхности изнутри области При этом, чтобы получить решение, непрерывное в замкнутой области необходимо в качестве граничных значений искомого решения на поверхности принять предельные значения потенциала двойного слоя (7.5) изнутри области. Из условия (7.6), учитывая свойства потенциала двойного слоя (см. формулу (6.15)), получаем

Перепишем (7.7) в виде

Соотношение (7.8) есть интегральное уравнение Фредгольма второго рода с полярным ядром относительно неизвестной плотности причем в силу оценки (6.9), полученной в предыдущем параграфе, для ядра уравнения (7.8) имеет место оценка

обеспечивающая сходимость интеграла.

Если существует решение уравнения (7.8), то, подставляя его в формулу (7.5), получим классическое решение внутренней задачи Дирихле. Таким образом, вопрос о разрешимости внутренней задачи Дирихле (7.4) сводится к вопросу о разрешимости интегрального уравнения (7.8).

Покажем, что уравнение (7.8) имеет и при этом единственное решение при любой непрерывной функции

Для уравнений Фредгольма с полярным ядром справедлива теория Фредгольма. Поэтому, согласно первой теореме Фредгольма, для доказательства однозначной разрешимости уравнения (7.8) достаточно показать, что однородное уравнение

имеет только тривиальное решение. Согласно второй теореме Фредгольма исходное и союзное интегральное уравнение

имеют одни и те же собственные значения, и ранги их одинаковы. В данном случае легче исследовать уравнение (7.10).

Покажем, что уравнение (7.10) имеет только тривиальное решение. Доказательство проведем от противного. Пусть уравнение (7.10) имеет ненулевое решение Естественно считать, что оно непрерывно. Построим потенциал простого слоя с плотностью

Функция является гармонической функцией как в так и в и равномерно стремится к нулю в бесконечности.

Вычислим предельное значение нормальной производной функции на . Согласно (6.22)

Поскольку есть решение уравнения (7.10),

Таким образом, функция является решением внешней однородной задачи Неймана

В силу единственности решения внешней задачи Неймана в трехмерном случае задача (7.12) имеет только тривиальное решение:

Функция как потенциал простого слоя (7.11), непрерывна при переходе через поверхность Поэтому в области функция есть решение однородной задачи Дирихле

В силу единственности внутренней задачи Дирихле Итак, функция во всем пространстве. Воспользовавшись формулой (6.17), находим

что противоречит исходному предположению. Следовательно, уравнение (7.10) имеет только тривиальное решение.

Согласно первой теореме Фредгольма неоднородное уравнение (7.8) имеет и при этом единственное решение при любой непрерывной функции

Отсюда вытекает, что при любой непрерывной функции внутренняя краевая задача Дирихле (7.4) имеет классическое решение, и это решение единственно.

Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 5.12. Внутренняя задача Дирихле (7.4) имеет классическое решение при любой непрерывной функции

Заметим, что построение функции Грина для задачи Дирихле эквивалентно решению краевой задачи со специальным граничным условием. Отсюда вытекает существование функции Грина задачи Дирихле для области, ограниченной поверхностью Ляпунова.

Сделаем еще одно замечание. По ходу рассуждений было доказано утверждение, которое сформулируем в виде леммы.

Лемма 5.1. Если потенциал простого слоя с непрерывной плотностью тождественно равен нулю либо в либо в то его плотность равна нулю всюду на