2. Пример

Проиллюстрируем поведение решения, представимого интегралом Пуассона (7.17), в точках разрыва начальной функции

В качестве примера рассмотрим следующую задачу: найти решение однородного уравнения теплопроводности на бесконечной прямой, если начальная температура в момент времени является кусочно-постоянной функцией

Воспользуемся формулой Пуассона (7.17) и используем замену Тогда будем иметь

где

— интеграл ошибок. Эта специальная функция широко используется в теории вероятностей, и для нее существуют подробные таблицы.

Укажем очевидные свойства функции

Из формулы (8.4) можно сделать следующие выводы,

а) Пусть Тогда при получим, что и, следовательно, и

б) Пусть Тогда и

в) Рассмотрим, наконец, одновременный переход к пределу при вдоль кривой где . Используя формулу (8.4), получим

и при будем иметь любое значение, заключенное в пределах от 0 до поскольку

Замечание. Рассмотренный пример позволяет получить и качественное представление о поведении классического решения задачи Коши с непрерывными начальными условиями, в определенном смысле «близкими» к разрывной функции. Для этого докажем следующую теорему устойчивости.

Теорема 6.10. Еслинепрерывная функция и кусочно-непрерывная функция удовлетворяют условию

для классического решения задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности

и функции

при справедлива оценка

где постоянная С не зависит ни от х, ни от ни от

Доказательство. Очевидно,

Применяя неравенство Коши-Буняковского, получим

Сделав стандартную замену , для первого интеграла в правой части последнего неравенства получим

что и дает требуемую оценку при

где

Заданную в примере разрывную кусочно-постоянную функцию можно с любой степенью точности приблизить в среднем непрерывной функцией для которой классическое решение задачи Коши для уравнения теплопроводности в силу доказанной теоремы сколь угодно близко при к функции (8.4), построенной в рассмотренном примере.