§ 11. ОБЩАЯ ЗАДАЧА КОШИ. ФУНКЦИЯ РИМАНА

В этом параграфе будет дано обобщение задачи Коши, рассмотренной в § 7. Пусть на плоскости задана бесконечно гладкая кривая С, удовлетворяющая следующим условиям:

а) кривая С не является характеристикой уравнения

б) любая характеристика уравнения (11.1) пересекает кривую С только один раз.

Кривая С делит плоскость на две криволинейные полуплоскости

Рассмотрим задачу:

где производная по нормали к кривой С, направленной внутрь области Дополнительные условия (11.3) и (11.4) задаются на кривой С.

Построим формулу, выражающую решение задачи (11.2) — (11.4) в любой точке области Проведем через точку характеристики уравнения (11.1), пересекающие кривую С в точках и обозначим через область, ограниченную участком кривой С и отрезками и характеристик (рис. 7.12).

Рассмотрим следующее выражение:

где

Проинтегрируем выражение (11.5) по области границу которой обозначим через используя формулу Грина

Рис. 7.12

Рассмотрим интегралы вдоль отрезков характеристик и Интегрируя по частям, получим

Из соотношений (11.6)-(11.8) вытекает формула

Формула (11.9) является тождеством для любых достаточно гладких функций и и

Пусть теперь функция является решением задач функция решением следующей зада с данными на характеристиках (задачи Гурса), рассмотре ной в § 10:

Легко видеть, что функция в области удовлетворяет всем условиям задачи (11.10). Функция удовлетворяющая условиям (11.10), представляет собой частный случай функции Римана.

Если подставить функцию Римана являющуюся решением задачи (11.10), в формулу (11.9), то получим

или, учитывая, что функция является решением задачи (11 2) (11.4),

Формула (11.11) дает решение задачи (11.2) — (11.4) череа входные данные, поскольку на дуге выражения

известны.

Замечание. Из формулы (11.11) следуют:

1) теорема единственности решения задачи (11.2) — (11.4),

2) теорема устойчивости решения задачи (11.2) — (11.4),

3) теорема существования решения задачи (11.2) — (11.4) при выполнении условия гладкости входных данных.

Рассмотрим теперь более сложную задачу:

де контур С выбирается так же, как и для задачи (11.12) — 11.14).

Определение. Два дифференциальных оператора и называются сопряженными, если разность

шляется разностью первых частных производных по от некоторых выражений

причем не содержит производной не содержит производной их.

Сопряженным к оператору будет оператор К следующего вида:

Непосредственной проверкой легко устанавливается, что для операторов выполняется равенство (11.15), где

Проинтегрируем равенство (11.15) по области воспользовавшись формулой Грина:

Интегралы по отрезкам характеристик и проинтегрируем по частям. В результате получим

где

Рассмотрим теперь следующую задачу с данными на характеристиках (задачу Гурса):

Задача (11.20) является обобщением рассмотренной в § 10 общей задачи с данными на характеристиках (10.5) — (10.7), и поэтому, повторяя с необходимыми уточнениями приведенные при исследовании этой задачи рассуждения, можно показать, что решение задачи (11.20) всегда существует. Оно называется функцией Римана.

Зная функцию Римана, легко построить решение задачи (11.12) — (11.14). Из формул (11.17) — (11.20) с учетом (11.12) получается

причем последний интеграл в формуле (11.21) легко вычисляется, поскольку функции известны.

Замечание. В начале этого параграфа мы отметили, что любая характеристика уравнения (11.12) должна пересекать кривую С не более одного раза. Действительно, если характеристика пересекает кривую С в двух точках то значение и не может быть задано произвольно, а определяется по формуле

с начальным значением, заданным на дуге и функцией у заданной в области криволинейном треугольнике (рис. 7.13).

Рис. 7.13