§ 2. ВНУТРЕННИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

Для выделения единственного решения уравнения Лапласа на границе области нужно задать дополнительные условия. В нашем курсе будут рассмотрены линейные задачи. В этом случае граничные условия чаще всего рассматриваются следующих трех видов:

1) - первое краевое условие, или условие Дирихле;

2) - второе краевое условие, или условие Неймана;

3) - третье краевое условие.

В дальнейшем, если это не оговорено особо, будем считать, что входящая в эти соотношения функция заданная на поверхности является непрерывной на функцией. Также будем рассматривать в области неоднородное уравнение с непрерывной в области правой частью

Последовательное изучение краевых задач начнем со случая, когда область в которой определяется решение, конечна. Такие задачи называются внутренними краевыми задачами.

1. Внутренняя задача Дирихле

Определение. Классическим решением внутренней задачи Дирихле

называется функция непрерывная в замкнутой области удовлетворяющая уравнению в области и непрерывно примыкающая к заданным граничным значениям

Заметим, что требование непрерывности в замкнутой области и непрерывное примыкание к граничным значениям существенны для единственности классического решения. Действительно, если это требование опустить, то классическим решением задачи

является любая функция, равная постоянной в области и заданной функции на границе 5. Этот пример показывает, что без условия непрерывности в замкнутой области классическое решение неединственно.

Теорема 5.3 (теорема единственности внутренней задачи Дирихле). Задача Дирихле не может иметь более одного классического решения.

Доказательство. Пусть существуют два классических решения задачи Дирихле:

Построим функцию Функция гармоническая в непрерывная в и удовлетворяет однородному граничному условию

В силу принципа максимума (ее максимальное значение достигается на границе (ее минимальное значение достигается на границе Следовательно, т. е.

Теорема 5.4 (теорема устойчивости). Решение внутренней задачи Дирихле устойчиво по граничным условиям.

Доказательство. Пусть есть решение задачи

причем всюду на Рассмотрим функцию

Для нее всюду на имеем неравенства

В силу принципа сравнения для гармонических функций это же неравенство справедливо всюду в Следовательно, всюду в области

Теорема устойчивости используется для оценки точности приближенных и численных решений задачи Дирихле, поскольку достаточно оценить выполнение граничных условий.

Заметим, что для задачи Дирихле теоремы единственности и устойчивости являются прямым следствием принципа максимума.

Вопрос о существовании решения будет рассмотрен позже, после того, как будет изложена теория потенциала.