§ 6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА

В этом параграфе рассматриваются интегралы специального вида, называемые потенциалами, и исследуются их основные свойства.

1. Объемный потенциал

Рассмотрим сначала трехмерный случай. Пусть в ограниченной области задана функция Интеграл

называется объемным потенциалом.

Как было отмечено ранее, функция представляет собой определенный во всех точках потенциал единичного точечного заряда, сосредоточенного в точке Если в области непрерывно распределен заряд с объемной плотностью то в силу принципа суперпозиции естественно полагать, что потенциал, создаваемый данным распределением объемного заряда, выражается интегралом (6.1). Функция называется плотностью потенциала.

Будем рассматривать объемный потенциал как обобщенную функцию и покажем, что при любой интегрируемой с квадратом функции он является обобщенным решением уравнения Пуассона

Для доказательства этого заметим, что объемный потенциал можно рассматривать как свертку финитной обобщенной функции и фундаментального решения оператора Лапласа

Используя правило дифференцирования свертки и учитывая, что

получим

При более жестких требованиях на функцию объемный потенциал представляет собой классическую функцию, обладающую определенными свойствами гладкости. В частности, если классическая ограниченная и интегрируемая функция, то объемный потенциал является непрерывно дифференцируемой функцией во всем пространстве. Если же плотность непрерывна вместе с первыми производными, то объемный потенциал является классическим решением уравнения Пуассона

во всех точках непрерывной дифференцируемости

На плоскости объемным (или логарифмическим) потенциалом называется интеграл вида

При тех же требованиях относительно он является решением уравнения