5. Локальные начальные условия

Пусть в задаче (9.1), (9.2) функция тождественно равна нулю. Рассмотрим случай локального начального возмущения, когда функции отличны от нуля только в некоторой ограниченной области Будем изучать изменение состояния в точке трехмерной области, лежащей вне области Формула Пуассона (9.21) при имеет вид

Функция и отлична от нуля только в том случае, если сфера пересекает область начальных значений Пусть расстояния от точки до ближайшей и наиболее удаленной точек области

где расстояние между точками и (рис. 7.11).

Рис. 7.11

Если т. е. возмущение до точки еще не успело дойти.

Если то вообще говоря, точка находится в возмущенном состоянии.

Если то возмущение прошло точку Таким образом, при распространении локального возмущения в трехмерном пространстве отсутствует явление последействия.

Если точка принадлежит области то возмущение в ней отлично от нуля вплоть до момента времени где максимальное расстояние от точки до границы области

Рассмотрим теперь мгновенную пространственную картину возмущения в некоторый момент времени Точки находящиеся в возбужденном состоянии, характеризуются тем, что сферы пересекают область начальных возмущений . Таким образом, множество точек в которых возмущение отлично от нуля, состоит из точек находящихся на сферах радиуса с центрами в точках области

Огибающие семейства сфер являются границами области Внешняя огибающая называется передним фронтом, внутренняя — задним фронтом распространяющейся волны.

Следовательно, в трехмерном случае начальное возмущение, локализованное в пространстве, вызывает в каждой точке пространства действие, локализованное во времени. При этом имеет место распространение волны с резко очерченными передним и задним фронтами — выполняется принцип Гюйгенса.

Перейдем к случаю двух пространственных переменных Пусть локальное возмущение задано в двумерной области на плоскости Рассмотрим изменение состояния в точке лежащей вне Возмущение в точке в момент определяется согласно формуле (9.25) выражением

т. е. начальными значениями в точках принадлежащих кругу радиуса с центром в точке

Пусть расстояние от точки до ближайшей точки области

Если то - возмущение еще не дошло до точки

Если то Начиная с момента в точке возникает возмущение, которое сначала возрастает, а затем, начиная с некоторого момента из-за наличия величины в знаменателе подынтегральных выражений, постепенно убывает до нуля при

В этом явлении последствия и заключается отличие плоского случая от пространственного. Мгновенная картина

возмущений на плоскости имеет резко очерченный передний фронт, но не имеет заднего фронта. Влияние начальных возмущений, локализованных на плоскости, не локализовано во времени и характеризуется длительно продолжающимся последействием. Принцип Гюйгенса не выполняется.

Наличие последействия в двумерном случае, в отличие от трехмерного, когда последействие отсутствует, легко объяснить. Двумерный случай является частным случаем трехмерного, когда начальные условия заданы в бесконечном цилиндре, который пересекает сфера любого сколь угодно большого радиуса с центром в точке