2. Внутренние вторая и третья краевые задачи

При рассмотрении второй и третьей краевых задач будем использовать следующее определение классического решения.

Определение. Классическим решением второй и третьей краевых задач называется функция непрерывная вместе с первыми производными в замкнутой области имеющая непрерывные вторые производные в удовлетворяющая уравнению в области и заданному граничному условию на поверхности

Теорема 5.5. Пусть на причем Третья краевая задача

где внешняя по отношению к нормаль к поверхности не может иметь более одного классического решения.

Доказательство. В силу линейности задачи достаточно показать, что однородная краевая задача

имеет только нулевое решение.

Используем первую формулу Грина, считая, что Получим

Так как то отсюда получаем

Следовательно, в тех точках поверхности где Отсюда и находим Следовательно, однородная задача имеет только нулевое решение.

Сделаем несколько замечаний. Требование непрерывности первых производных в замкнутой области, введенное в определение классического решения, является слишком жестким и использовано для упрощения доказательства единственности решения. Его можно ослабить.

Условие существенно для единственности решения третьей краевой задачи. Если на то решение может быть неединственным. В этом легко убедиться на примере. Действительно, функция и является ненулевым решением уравнения Лапласа в круге удовлетворяющим однородному граничному условию

Следовательно, решение краевой задачи в круге

неединственно, поскольку также является решением этой задачи.

Если рассматривать вторую краевую задачу, т. е. то получим откуда причем эта постоянная не определяется. Это означает, что классическое решение второй внутренней краевой задачи (внутренней задачи Неймана) неединственно и определяется с точностью до произвольной постоянной. Для второй краевой задачи для уравнения Лапласа также получаем, что если она имеет решение, то согласно формуле Гаусса должно выполняться соотношение

где

Если это условие не выполнено, то задача Неймана для уравнения Лапласа решения не имеет. Следовательно, условие (2.1) является необходимым условием разрешимости внутренней задачи Неймана для уравнения Лапласа. Позже покажем, что это условие является также и достаточным условием разрешимости задачи Неймана.

Если определить классическое решение задачи Дирихле как функцию, непрерывную вместе со своими первыми производными в замкнутой области имеющую непрерывные вторые производные внутри области удовлетворяющую уравнению в и граничному условию на то доказательство единственности так определенного классического решения можно провести только что использованным методом, опирающимся на первую формулу Грина.

Если правая часть уравнения — функция разрывна в области то классического решения соответствующая краевая задача не имеет, поскольку понятие классического решения содержит требование непрерывности вторых производных в Если решение определить как функцию, удовлетворяющую уравнению в областях непрерывности с условиями сопряжения на поверхности разрыва, то метод первой формулы Грина позволяет доказать единственность решения первой (в последней формулировке), второй и третьей краевых задач и в случае кусочно-непрерывной функции