6. Полиномы Лагерра

Пусть В этом случае (см. (3.4)) и из формулы (3.5) вытекает

Поскольку

то

где

Потребуем, чтобы

Для выполнения последнего условия достаточно положить Тогда получим

Классические ортогональные полиномы, заданные на полупрямой и ортогональные на ней с весом называются обобщенными полиномами Лагерра и обозначаются

Выбирая нормировочный множитель получим из формулы Родрига (3.16) явное выражение для обобщенных полиномов Лагерра

При постановке краевой задачи Штурма-Лиувилля для полиномов нужно учесть, что эти полиномы заданы на полупрямой и необходимо определить поведение решения на бесконечности. Введем

Определение. Будем называть функцию квадратично интегрируемой с весом на интервале если существует интеграл

Тогда, используя (3.11), можно так сформулировать постановку задачи Штурма-Лиувилля для обобщенных полиномов Лагерра.

Найти значение параметра X и отвечающие им нетривиальные решения уравнения

непрерывные и квадратично интегрируемые с весом на полупрямой Отметим, что условие квадратичной интегрируемости функций с весом на полупрямой допускает их рост при

Заметим, что обобщенные полиномы Лагерра определены на полубесконечном интервале, и, следовательно, мы уже не можем, ссылаясь на теорему Вейерштрасса, доказать, что они образуют полную систему на полупрямой а также что эта система замкнута и исчерпывает все собственные функции задачи (3.37). Однако замкнутость системы полиномов несложно доказать аналогично тому, как это будет сделано в следующем пункте для полиномов Эрмита, определенных на всей бесконечной прямой. Отсюда будет следовать, что

обобщенные полиномы Лагерра исчерпывают все собственные функции задачи (3.37). Для обобщенных полиномов Лагерра справедлива теорема разложимости Стеклова.

При получаем частный случай обобщенных полиномов Лагерра, называемых полиномами Лагерра и обозначаемых

Из формулы (3.36) сразу следует формула Родрига, дающая явное представление для полиномов Лагерра:

Коэффициент для полиномов Лагерра согласно (3.38) имеет вид

и, используя общую формулу (3.17) и свойства гамма-функции, легко получить выражение для квадрата нормы:

Из формулы (3.37) при получается уравнение для полиномов Лагерра

Краевая задача Штурма-Лиувилля для полиномов Лагерра формулируется полностью аналогично соответствующей задаче для обобщенных полиномов Лагерра.

Собственные значения определяются формулой (3.13). Из уравнения Пирсона и формула (3.13) дает

Полиномы Лагерра как частный случай обобщенных полиномов Лагерра образуют полную замкнутую ортогональную с весом систему на полупрямой и исчерпывают все собственные функции соответствующей задачи Штурма-Лиувилля. Для полиномов Лагерра справедлива теорема разложимости Стеклова.

Используя формулу Родрига (3.38), выпишем в явном виде несколько первых полиномов Лагерра:

Получим выражение для производящей функции полиномов Лагерра. В этом случае уравнение (3.22) принимает вид

откуда

и из формулы (3.23) следует

Итак,

где и поскольку для полиномов Лагерра то окончательно получим