§ 2. ПРОЦЕССЫ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА

Рассмотрение следующей группы физических задач, характеризующих процессы переноса в среде тепла или вещества, начнем с вывода так называемого уравнения теплопроводности, описывающего процесс изменения теплового состояния тела. Построим математическую модель изменения под действием заданных физических условий температуры точек тела, занимающего объем ограниченный поверхностью

Выделим в области малый объем с границей Обозначим через температуру тела в точке в момент времени плотность тела, - удельную теплоемкость, - коэффициент теплопроводности, объемную плотность источников (стоков) тепла.

В дальнейшем нам понадобятся следующие экспериментально установленные физические закономерности.

Закон Фурье. Если температура тела распределена неравномерно, то в нем возникают тепловые потоки, направленные от более нагретых участков тела к менее нагретым.

Количество тепла протекающее через площадку за промежуток времени равно

где производная по нормали к площадке

Закон Ньютона. Количество тепла протекающего в единицу времени через площадку а поверхности тела в окружающую среду, равно

где температура окружающей среды, и — температура поверхности тела, коэффициент теплообмена.

Используем для вывода уравнения теплопроводности метод баланса. Запишем уравнение теплового баланса для выделенного малого объема

Пусть за промежуток времени температура объема изменилась на При этом, как обычно, считаем объем столь малым, что в его пределах температуру можно считать постоянной. Количество тепла которое нужно сообщить объему в течение промежутка времени для повышения его температуры на равно

Между объемом и остальной частью тела через поверхность происходит теплообмен, который согласно закону Фурье определяется формулой (2.1). Количество тепла участвующее в этом теплообмене, равно

где производная по нормали к поверхности внешней по отношению к области

Предположим, что функции являются достаточно гладкими, и преобразуем поверхностный интеграл в правой части формулы (2.4) к объемному с помощью теоремы Остроградского-Гаусса. В результате получим

Внутри объема за промежуток времени может выделяться или поглощаться некоторое количество тепла, например за счет прохождения тока, вследствие различных химических реакций и т. д. Это количество тепла выражается с помощью введенной плотности источников (стоков) тепла следующим образом:

Уравнение теплового баланса имеет вид

Подставляя (2.3), (2.5), (2.6) в формулу (2.7), получим интегральное уравнение теплового баланса, справедливое для любого достаточно малого элемента рассматриваемого тела

Чтобы из интегрального соотношения (2.8) получить дифференциальное уравнение, потребуем, чтобы функция была дважды непрерывно дифференцируема по координатам и один раз непрерывно дифференцируема по времени, функция непрерывно дифференцируема, а функции непрерывны. Тогда, применяя к выражению (2.8) формулу конечных приращений и теорему о среднем и переходя к пределу при и стягивающемся в точку получим

Для постановки начально-краевой задачи к уравнению (2 9) необходимо добавить дополнительные условия. Это начальное условие, определяющее температуру тела в начальный момент времени Отметим, что в случае уравнения теплопроводности, в котором старшей производной по времени является производная первого порядка, достаточно одного начального условия. В этом отношении уравнение теплопроводности отличается от уравнения колебаний, рассмотренного в § 1, для которого необходима постановка двух начальных условий. Более подробно эти вопросы будут рассмотрены в дальнейшем. Граничное условие задает тепловой режим на поверхности тела Если граница поддерживается при заданной

температуре имеем граничное условие первого рода, или граничное условие Дирихле:

Если на поверхности задан тепловой поток имеем граничное условие второго рода, или граничное условие Неймана:

где производная по нормали к поверхности Это условие обычно записывается следующим образом:

где заданная функция.

Наконец, если на поверхности происходит теплообмен с внешней средой заданной температуры, то, применяя закон Ньютона (2.2), после несложных преобразований получаем граничное условие третьего рода

где и -заданные функции,

Таким образом, начально-краевая задача для уравнения теплопроводности ставится следующим образом:

где заданные функции. При этом, если , имеем граничное условие (2.10), если граничное условие (2.11), а если граничное условие (2.12).

Для уравнения теплопроводности, как и для уравнения колебаний, могут возникать и более сложные граничные условия, чем условия (2.10) - (2.12). В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только граничных условий первого, второго и третьего рода.

Заметим, что к уравнению теплопроводности приводит не только рассмотрение процессов распространения тепла, но и процессов диффузии, процессов переноса вещества и др. Например, уравнение диффузии имеет вид

где концентрация газа в точке в момент времени , с - коэффициент пористости, равный отношению объема пор к полному объему, коэффициент диффузии, плотность источников (стоков) вещества. Уравнения теплопроводности (2.9) и диффузии (2.14) отличаются только обозначением коэффициентов.

В ряде случаев и процессы распространения электромагнитных волн могут описываться уравнениями типа уравнения теплопроводности.

В заключение параграфа заметим, что если уравнение теплопроводности рассматривается в неограниченном пространстве или в области внешней относительно замкнутой поверхности, то для однозначного описания процесса нужно ставить определенные условия на бесконечности. Конкретный вид этих условий будет рассмотрен в гл. VI.