4. Свойства фундаментального решения

1) Из формулы (7.16) следует, что функция определена при и положительна:

2) Непосредственной проверкой легко установить, что функция по переменным удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности при

3) Известно, что разложение дельта-функции в интеграл Фурье имеет вид

Поэтому из формулы (7.14) следует, что

Это позволяет дать следующее определение фундаментального решения.

Определение. Фундаментальным решением уравнения теплопроводности в одномерном случае называется решение задачи Коши

непрерывное всюду в области за исключением точки (т. е. ).

Из этого определения следует, что функция является регулярной обобщенной функцией

4) Из формулы (7.17) следует, что функция с физической точки зрения представляет собой температуру в точке х в момент времени если в начальный момент в точке мгновенно выделяется некоторое количество тепла

Проинтегрировав функцию по х от до используя замену

получим

Физический смысл формулы (7.18) заключается в том, что количество тепла, находящегося на бесконечной прямой в последующие моменты времени не изменяется с течением времени. Действительно, количество тепла, находящееся в момент на оси равно

где удельная теплоемкость, линейная плотность бесконечной прямой.

Точечный источник, находящийся в точке в начальный момент выделяет количество тепла

Изобразим график функции для различных значений (рис. 6.1). Величина площади фигуры, расположенной между кривой и осью умноженная на равна

количеству тепла, подведенному к бесконечной прямой в начальный момент. Для малых значений почти все тепло сосредоточено в малой окрестности точки В начальный момент времени все количество тепла сосредоточено в точке . В точке получаем

Рис. 6.1

Таким образом, температура в точке где в начальный момент происходит мгновенное выделение тепла (действует мгновенный точечный источник), для малых неограниченно велика.

6) Из формулы (7.16) следует, что функция является симметричной по Симметрия функции по переменным представляет собой математическое отражение известного физического принципа взаимности: источник, помещенный в точке х, производит в точке такое же действие, какое производит в точке х тот же источник, помещенный в точку Или более кратко — источник и точку наблюдения можно поменять местами.

Замечание. Из вида функции следует, что температура точки бесконечной прямой, сколь угодно далеко расположенной от точки где находится источник, и в моменты времени, сколь угодно близкие к начальному моменту отлична от нуля. Это явление противоречит конечной скорости распространения тепла и носит название парадокса бесконечной теплопроводности. Указанный парадокс связан с недостаточной полнотой феноменологической физической модели, применяемой при выводе уравнения теплопроводности. Для построения более полной математической модели следует использовать дополнительные физические соображения, учитывающие, в частности, молекулярную структуру вещества.