Главная > Лекции по математической физике
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4. Свойства фундаментального решения

1) Из формулы (7.16) следует, что функция определена при и положительна:

2) Непосредственной проверкой легко установить, что функция по переменным удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности при

3) Известно, что разложение дельта-функции в интеграл Фурье имеет вид

Поэтому из формулы (7.14) следует, что

Это позволяет дать следующее определение фундаментального решения.

Определение. Фундаментальным решением уравнения теплопроводности в одномерном случае называется решение задачи Коши

непрерывное всюду в области за исключением точки (т. е. ).

Из этого определения следует, что функция является регулярной обобщенной функцией

4) Из формулы (7.17) следует, что функция с физической точки зрения представляет собой температуру в точке х в момент времени если в начальный момент в точке мгновенно выделяется некоторое количество тепла

Проинтегрировав функцию по х от до используя замену

получим

Физический смысл формулы (7.18) заключается в том, что количество тепла, находящегося на бесконечной прямой в последующие моменты времени не изменяется с течением времени. Действительно, количество тепла, находящееся в момент на оси равно

где удельная теплоемкость, линейная плотность бесконечной прямой.

Точечный источник, находящийся в точке в начальный момент выделяет количество тепла

Изобразим график функции для различных значений (рис. 6.1). Величина площади фигуры, расположенной между кривой и осью умноженная на равна

количеству тепла, подведенному к бесконечной прямой в начальный момент. Для малых значений почти все тепло сосредоточено в малой окрестности точки В начальный момент времени все количество тепла сосредоточено в точке . В точке получаем

Рис. 6.1

Таким образом, температура в точке где в начальный момент происходит мгновенное выделение тепла (действует мгновенный точечный источник), для малых неограниченно велика.

6) Из формулы (7.16) следует, что функция является симметричной по Симметрия функции по переменным представляет собой математическое отражение известного физического принципа взаимности: источник, помещенный в точке х, производит в точке такое же действие, какое производит в точке х тот же источник, помещенный в точку Или более кратко — источник и точку наблюдения можно поменять местами.

Замечание. Из вида функции следует, что температура точки бесконечной прямой, сколь угодно далеко расположенной от точки где находится источник, и в моменты времени, сколь угодно близкие к начальному моменту отлична от нуля. Это явление противоречит конечной скорости распространения тепла и носит название парадокса бесконечной теплопроводности. Указанный парадокс связан с недостаточной полнотой феноменологической физической модели, применяемой при выводе уравнения теплопроводности. Для построения более полной математической модели следует использовать дополнительные физические соображения, учитывающие, в частности, молекулярную структуру вещества.

1
Оглавление
email@scask.ru