2. Свойства собственных значений и собственных функций

Согласно теории интегральных уравнений вещественное симметричное слабополярное ядро имеет хотя бы одно собственное значение. Это означает, что задача Штурма-Лиувилля имеет решение, т. е. существуют собственные значения и собственные функции оператора Лапласа для задачи Дирихле.

Рассмотрим свойства собственных значений и собственных функций, сформулированные в § 4 гл. III.

1. Существует бесконечное счетное множество собственных значений

Поскольку собственные значения уравнения (1.5) и задачи (1.1), (1.2) совпадают, то существование счетного множества собственных значений следует из теории интегральных уравнений. Остается показать, что множество собственных значений бесконечно. Предположим противное, т. е. что число собственных значений конечно:

Тогда, как известно, ядро будет вырожденным, и оно представимо в виде

где множество собственных функций ядра К, причем в этой сумме каждое собственное значение повторяется столько раз, каков его ранг. Напомним, что для рассматриваемых ядер ранг собственного значения конечен. Поскольку каждая собственная функция непрерывна, то конечная сумма, стоящая в правой части есть функция непрерывная, в то время как ядро стоящее в левой части (1.7), слабо-полярно, т. е. неограничено при Это противоречие показывает, что число собственных значений бесконечно и согласно теории интегральных уравнений не имеет конечных точек сгущения.

2. Все собственные значения положительны: Обозначим через множество собственных функций задачи (1.1), (1.2):

Воспользуемся первой формулой Грина

Поскольку то

Отсюда сразу следует, что при всех Это также означает, что функция Грина является определенно положительным ядром, разложение которого в ряд по собственным функциям получено в § 4 гл. V:

Заметим, что для задачи Штурма-Лиувилля с граничным условием Неймана из (1.8) следует, что она имеет наименьшее нулевое собственное значение. С этим обстоятельством связана неединственность решения внутренней задачи Неймана для уравнения Лапласа. Наконец, заметим, что в случае задачи Штурма-Лиувилля с третьим граничным условием при отрицательной функции

задача может иметь конечное число отрицательных собственных значений

3. Собственные функции ортогональны в области с весом

Для доказательства применим вторую формулу Грина к функциям

Учитывая уравнение (1.1) и граничное условие (1.2), отсюда получаем

Следовательно,

Поскольку ранг собственных значений конечен, то, проведя дополнительную ортогонализацию линейно независимых собственных функций, соответствующих одному собственному значению, получим ортогональную систему всех собственных функций. В дальнейшем будем считать, что она ортонормирована:

4. Теорема 8.1. (Теорема Стеклова). Произвольная дважды непрерывно дифференцируемая в замкнутой области функция удовлетворяющая граничному условию

разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям задачи Дирихле.

Доказательство. Эта теорема является следствием теоремы Гильберта-Шмидта. Действительно, подействуем на функцию оператором Лапласа и обозначим Можно считать, что есть классическое решение задачи:

которое записывается через функцию Грина

Пусть

Тогда

Функция истокообразно представима при помощи ядра По теореме Гильберта-Шмидта она разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям этого ядра. Следовательно,

или

Замечание. Из теоремы Стеклова вытекают полнота и замкнутость в системы собственных функций. Действительно, произвольная функция может быть приближена в среднем (по норме достаточно гладкой функцией удовлетворяющей граничному условию

Функция удовлетворяет теореме Стеклова и может быть приближена равномернои, следовательно, в среднем частичной суммой ряда

Поэтому

Следовательно, система собственных функций полна и замкнута в пространстве

В заключение отметим, что установленные свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа имеют место и в случае более общего эллиптического оператора дивергентного типа:

при достаточно гладких в положительных функциях

Не проводя подробных доказательств, кратко остановимся на задаче Штурма-Лиувилля для самосопряженного эллиптического оператора

Рассмотрим вспомогательную задачу:

С помощью формул Грина легко доказать теорему единственности задачи (1.9), (1.10) для достаточно гладких функций

Записав уравнение (1.9) в виде

для решения задачи (1.9)-(1.10), если оно существует, получим представление

где

а — функция Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа:

существование которой для достаточно гладкой поверхности было доказано выше.

Используя тождество

теорему Остроградского и условие (1.10), полученное для решения задачи (1.9) — (1.10), представление можно переписать в виде

Данное представление есть не что иное, как интегральное уравнение Фредгольма второго рода с полярным ядром. Аналогично предыдущему доказывается эквивалентность краевой задачи (1.9), (1.10) и интегрального уравнения (1.11). Причем в силу теоремы единственности для задачи (1.9), (1.10) однородное интегральное уравнение (1.11) имеет только тривиальное решение. Последнее справедливо и для уравнения с повторными ядрами. Отсюда следует, что краевая задача (1.9), (1.10) однозначно разрешима. Рассматривая последовательность краевых задач:

где положительная функция отлична от нуля лишь внутри шара радиуса с центром в точке а

и переходя к пределу при можно показать, что существует регулярная обобщенная функция являющаяся решением краевой задачи:

Легко доказать, что функция симметричная функция своих аргументов. Функцию естественно назвать функцией Грина задачи Дирихле для оператора в области Через эту функцию Грина решение задачи (1.9), (1.10) выражается в виде

Вернемся теперь к исходной задаче Штурма-Лиувилля. Из проведенных рассмотрений аналогично случаю оператора Лапласа следует, что эта задача эквивалентна однородному интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметризуемым ядром:

откуда и следуют основные свойства собственных значений и собственных функций этой задачи.