§ 5. ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ... В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

Перейдем к изучению задач для уравнения в неограниченной области. Для выделения единственного решения необходимо поставить дополнительные условия на бесконечности. При этом условия на бесконечности ставятся по-разному при и при

Рассмотрим сначала случай Будем считать, что функция локальна. В этом случае дополнительным условием, выделяющим единственное решение, является требование равномерного стремления решения к нулю на бесконечности.

Теорема 8.6. Уравнение в неограниченном пространстве не может иметь более одного решения, равномерно стремящегося к нулю на бесконечности.

Доказательство. Пусть существуют два решения равномерно стремящиеся к нулю на бесконечности. Тогда функция является решением однородного уравнения во всем пространстве и на бесконечности.

Пусть существует точка такая, что Для определенности будем считать, что Так как на бесконечности, то существует такое что при всех Тогда точка будет лежать внутри шара радиуса с центром в начале координат, и, следовательно, функция достигает во внутренней точке этого шара положительного максимального значения. Это противоречит принципу максимума. Следовательно, во всем пространстве, т. е.

На основании отмеченных выше свойств потенциалов Гельмгольца легко установить, что в случае локальной непрерывно дифференцируемой в функции решение уравнения

существует и выражается формулой

Аналогичным образом может быть доказана единственность решения внешней краевой задачи

равномерно стремящегося к нулю на бесконечности.

Можно показать, что для решения уравнения равномерно стремящегося к нулю на бесконечности, в неограниченной области справедлива третья формула Грина

где носитель функции нормаль к поверхности , направленная внутрь области Из формулы (5.1) следует оценка убывания функции на бесконечности: