3. Формула Пуассона

Формула Кирхгофа (9.18) позволяет получить явное аналитическое представление решения начальной задачи (9.1), (9.2). Пусть выполнены условия гладкости входных данных задачи, обеспечивающие существование решения и применимость формулы (9.18). Выберем теперь в качестве поверхности сферу радиуса с центром в точке Тогда будем иметь, учитывая начальные условия (9.2):

причем

Рассмотрим сначала случай однородного уравнения колебаний. Полагая в формуле Кирхгофа получим формулу, выражающую решение задачи Коши для однородного уравнения колебаний в пространстве:

где - единичная сфера. Очевидно,

откуда для решения задачи Коши для уравнения колебаний окончательно получим

Формула (9.20) носит название формулы Пуассона. В общем случае неоднородного уравнения формула, выражающая

решение задачи (9.1), (9.2) в явном аналитическом виде через входные данные задачи, имеет вид (нулевой индекс и опущен)

Сделаем ряд замечаний.

Замечание 1. Из формулы (9.21) следует теорема единственности решения задачи (9.1), (9.2) аналогично тому, как в одномерном случае единственность решения следует из формулы (7.24).

Замечание 2. Из формулы (9.21) следует устойчивость решения задачи (9.1), (9.2) по входным данным: малому изменению функций отвечают малые изменения решения При этом возмущения входных данных можно задавать в норме а возмущение решения оценивать в равномерной норме.

Замечание 3. Существование классического решения задачи (9.1), (9.2) можно доказать, непосредственно проверив, что при достаточных условиях гладкости входных данных функция (9.21) удовлетворяет всем условиям задачи. При этом достаточно потребовать, чтобы функция была трижды непрерывно дифференцируемой, а функции были дважды непрерывно дифференцируемы в своих областях определения.