§ 5. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ

Теперь рассмотрим метод Фурье решения неоднородного уравнения с нулевыми граничными и начальными условиями (задача (1.7)):

Основу метода разделения переменных составляет задача Штурма-Лиувилля. Будем считать, что она решена.

Обозначим собственные значения и ортонормированные собственные функции задачи Штурма-Лиувилля (4.8) - (4.9).

Решение задачи (5.1) — (5.3) будем искать в виде разложения по собственным функциям:

коэффициенты которого, естественно, зависят от переменной Функции нужно выбрать так, чтобы ряд (5.4) удовлетворял уравнению (5.1). Формально подставляя (5.4) в уравнение (5.1), получим

Домножив (5.5) на и проинтегрировав по получим

где

Уравнение (5.6) для коэффициентов Фурье можно получить и другим путем, не предполагая возможность почленного дифференцирования ряда (5.4). Для этого уравнение (5.1) умножим на и проинтегрируем по области

Согласно второй формуле Грина (2.4), учитывая однородные граничные условия на поверхности имеем

Поскольку коэффициенты оператора не зависят от то

Поэтому из (5.7) получаем

Изложенный метод получения соотношения (5.6) называется энергетическим, или методом Галеркина. Он часто используется при построении различных алгоритмов численного решения краевых задач.

Подставляя (5.4) в начальные условия (5.3), имеем

Таким образом, для каждой функции получаем задачу Коши (5.6), (5.8), решение которой можно записать в виде

где импульсная функция уравнения (5.6). Подставляя (5.9) в (5.4), получим формальное решение задачи (5.1) — (5.3). Исследования условий, при которых формула (5.4) дает классическое решение, мы здесь не проводим.

Преобразуем решение (5.4). Подставим (5.9) в (5.4) и изменим порядок интегрирования и суммирования:

Обозначим

Тогда

Определение. Функция называется функцией влияния точечного источника, или функцией Грина.

Формула (5.10) показывает, что она может быть построена в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля.

Вопросы существования функции Грина и представимости ее в виде разложения (5.10) здесь при изложении формальной схемы метода Фурье обсуждать не будем. Для конкретных начально-краевых задач эти вопросы будут рассмотрены в следующих главах курса.

Соотношение (5.11) дает представление решения задачи (5.1) — (5.3) через функцию Грина. Из формулы (5.11) следует,

что функцию Грина можно определить как решение задачи:

где - -функции Дирака, определенные в области и на оси соответственно (определение и свойства -функции Дирака см., например,).

Функция Грина определена при Учитывая (5.12), естественно доопределить ее нулем при