§ 3. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ В СЛУЧАЕ МНОГИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Кратко остановимся на классификации уравнений второго порядка в частных производных в случае многих независимых переменных. Рассмотрим опять уравнение, линейное относительно старших производных:
где 
Пусть 
точка области 
Построим квадратичную форму
Невырожденным линейным преобразованием
квадратичная форма всегда может быть приведена к каноническому виду
При этом согласно теореме инерции число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов 
в каноническом виде квадратичной формы является инвариантом и не зависит от линейного преобразования. На основе этого производится классификация уравнения (3.1).
Выделяются три основных типа уравнений. Если в точке 
квадратичная форма в каноническом виде (3.3) имеет все коэффициенты одного знака, то уравнение (3.1) в этой точке называется уравнением эллиптического типа; если все 0, но существуют как положительные, так и отрицательные 
то уравнением гиперболического типа; если хотя бы один из коэффициентов 
равен нулю, то уравнением параболического типа. Может быть проведена и более подробная классификация (необходимости которой в случае двух переменных не возникает).
Например, в случае уравнений гиперболического типа возможны следующие случаи:
один коэффициент — одного знака, для определенности, 
а остальные — другого 
- уравнение (3.1) называется уравнением нормального гиперболического типа; 
уравнение ультрагиперболического типа.
В случае уравнения параболического типа возможностей больше: 
(одного знака) — уравнение эллиптически-параболического типа; 
но разного знака — уравнение гиперболически-параболического типа 
разделением на нормально гиперболически- и ультрагиперболически-параболического типа. Дальнейшая классификация проводится, когда несколько 
обращаются в нуль. В этом случае уравнение называется ультрапараболическим с дальнейшим делением в зависимости от знаков остальных Я.
Классификация уравнения (3.1), как и прежде, проводится в отдельной точке 
Интересен вопрос: возможно ли в случае многих переменных привести единой заменой переменных
уравнение (3.1), в том случае, когда оно принадлежит к одному и тому же типу во всех точках области 
к каноническому
виду в некоторой окрестности точки 
При такой замене переменных, как легко проверить, уравнение (3.1) принимает вид
где функция 
не зависит от вторых производных функции 
а коэффициенты 
имеют вид
Чтобы обратились в нуль коэффициенты при смешанных вторых производных 
функции 
должны удовлетворять 
уравнениям. Это число больше 
(числа функций 
при 
Следовательно, привести к каноническому виду уравнение (3.1) сразу в некоторой окрестности точки, вообще говоря, нельзя (при этом, конечно, исключается случай уравнения с постоянными коэффициентами).
Процедура приведения уравнения (3.1) к каноническому виду, как в случае двух переменных, связана с решением характеристического уравнения, которое согласно (3.4) имеет вид
На деталях этой процедуры мы не останавливаемся.
