§ 3. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ В СЛУЧАЕ МНОГИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Кратко остановимся на классификации уравнений второго порядка в частных производных в случае многих независимых переменных. Рассмотрим опять уравнение, линейное относительно старших производных:

где

Пусть точка области Построим квадратичную форму

Невырожденным линейным преобразованием

квадратичная форма всегда может быть приведена к каноническому виду

При этом согласно теореме инерции число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы является инвариантом и не зависит от линейного преобразования. На основе этого производится классификация уравнения (3.1).

Выделяются три основных типа уравнений. Если в точке квадратичная форма в каноническом виде (3.3) имеет все коэффициенты одного знака, то уравнение (3.1) в этой точке называется уравнением эллиптического типа; если все 0, но существуют как положительные, так и отрицательные то уравнением гиперболического типа; если хотя бы один из коэффициентов равен нулю, то уравнением параболического типа. Может быть проведена и более подробная классификация (необходимости которой в случае двух переменных не возникает).

Например, в случае уравнений гиперболического типа возможны следующие случаи:

один коэффициент — одного знака, для определенности, а остальные — другого - уравнение (3.1) называется уравнением нормального гиперболического типа; уравнение ультрагиперболического типа.

В случае уравнения параболического типа возможностей больше: (одного знака) — уравнение эллиптически-параболического типа; но разного знака — уравнение гиперболически-параболического типа разделением на нормально гиперболически- и ультрагиперболически-параболического типа. Дальнейшая классификация проводится, когда несколько обращаются в нуль. В этом случае уравнение называется ультрапараболическим с дальнейшим делением в зависимости от знаков остальных Я.

Классификация уравнения (3.1), как и прежде, проводится в отдельной точке Интересен вопрос: возможно ли в случае многих переменных привести единой заменой переменных

уравнение (3.1), в том случае, когда оно принадлежит к одному и тому же типу во всех точках области к каноническому

виду в некоторой окрестности точки При такой замене переменных, как легко проверить, уравнение (3.1) принимает вид

где функция не зависит от вторых производных функции а коэффициенты имеют вид

Чтобы обратились в нуль коэффициенты при смешанных вторых производных функции должны удовлетворять уравнениям. Это число больше (числа функций при Следовательно, привести к каноническому виду уравнение (3.1) сразу в некоторой окрестности точки, вообще говоря, нельзя (при этом, конечно, исключается случай уравнения с постоянными коэффициентами).

Процедура приведения уравнения (3.1) к каноническому виду, как в случае двух переменных, связана с решением характеристического уравнения, которое согласно (3.4) имеет вид

На деталях этой процедуры мы не останавливаемся.