3. Существование, единственность и устойчивость решения задачи Коши
Формула Даламбера (7.10) дает возможность доказать единственность, существование и устойчивость решения задачи Коши 
Теорема 7.4. Пусть функция 
дважды непрерывно дифференцируема, а функция 
непрерывно дифференцируема на бесконечной прямой 
Тогда классическое решение задачи Коши (7.3), (7.4) существует, единственно и определяется формулой Даламбера (7.10).
Доказательство. Единственность. Предположим, что классическое решение задачи Коши (7.3), (7.4) существует. Тогда оно представимо в виде (7.10). Если существует второе решение задачи (7.3), (7.4), то оно также должно представляться формулой (7.10) и тем самым совпадать с первым.
Существование. Пусть функция 
дважды непрерывно дифференцируема, а функция 
непрерывно дифференцируема на бесконечной прямой. Тогда непосредственной проверкой легко установить, что функция 
представимая формулой Даламбера (7.10), является классическим решением задачи Коши.
Замечание. В формулировке теоремы условия, накладываемые на начальные функции 
менее жесткие, чем в теореме существования решения начально-краевой
задачи для уравнения колебаний на отрезке. Это связано с различными методами доказательства соответствующих теорем.
Формула Даламбера дает возможность доказать устойчивость решения задачи Коши (7.3), (7.4) по начальным данным. Обозначим через 
решение задачи Коши (6.3), (6.4) с начальными функциями 
Теорема 7.5. Пусть начальные функции 
двух задач Коши (7.3), (7.4) удовлетворяют условиям
а
для любых постоянных а и 
Тогда для решения этих задач при 
выполняется неравенство 
Доказательство. Записав решения 
и 
задач Коши (7.3), (7.4) с помощью формулы Даламбера и оценивая модуль разности, получим
Оценивая интеграл в правой части с помощью неравенства Коши-Буняковского
и учитывая неравенство (7.11), имеем оценку
Замечание. Сформулированная теорема устойчивости справедлива для любых функций 
представимых формулой Даламбера. Поэтому можно расширить понятие решения задачи Коши (7.3) — (7.4) для случая негладких начальных функций 
Решением задачи Коши в случае негладких начальных функций будем называть предел выражений, представленных формулой Даламбера (7.10), полученных для сглаженных начальных функций 
сколь угодно близко аппроксимирующих функции 
