Главная > Лекции по математической физике
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3. Существование, единственность и устойчивость решения задачи Коши

Формула Даламбера (7.10) дает возможность доказать единственность, существование и устойчивость решения задачи Коши

Теорема 7.4. Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема, а функция непрерывно дифференцируема на бесконечной прямой Тогда классическое решение задачи Коши (7.3), (7.4) существует, единственно и определяется формулой Даламбера (7.10).

Доказательство. Единственность. Предположим, что классическое решение задачи Коши (7.3), (7.4) существует. Тогда оно представимо в виде (7.10). Если существует второе решение задачи (7.3), (7.4), то оно также должно представляться формулой (7.10) и тем самым совпадать с первым.

Существование. Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема, а функция непрерывно дифференцируема на бесконечной прямой. Тогда непосредственной проверкой легко установить, что функция представимая формулой Даламбера (7.10), является классическим решением задачи Коши.

Замечание. В формулировке теоремы условия, накладываемые на начальные функции менее жесткие, чем в теореме существования решения начально-краевой

задачи для уравнения колебаний на отрезке. Это связано с различными методами доказательства соответствующих теорем.

Формула Даламбера дает возможность доказать устойчивость решения задачи Коши (7.3), (7.4) по начальным данным. Обозначим через решение задачи Коши (6.3), (6.4) с начальными функциями

Теорема 7.5. Пусть начальные функции двух задач Коши (7.3), (7.4) удовлетворяют условиям

а

для любых постоянных а и

Тогда для решения этих задач при выполняется неравенство

Доказательство. Записав решения и задач Коши (7.3), (7.4) с помощью формулы Даламбера и оценивая модуль разности, получим

Оценивая интеграл в правой части с помощью неравенства Коши-Буняковского

и учитывая неравенство (7.11), имеем оценку

Замечание. Сформулированная теорема устойчивости справедлива для любых функций представимых формулой Даламбера. Поэтому можно расширить понятие решения задачи Коши (7.3) — (7.4) для случая негладких начальных функций Решением задачи Коши в случае негладких начальных функций будем называть предел выражений, представленных формулой Даламбера (7.10), полученных для сглаженных начальных функций сколь угодно близко аппроксимирующих функции

1
Оглавление
email@scask.ru