3. Существование, единственность и устойчивость решения задачи Коши
Формула Даламбера (7.10) дает возможность доказать единственность, существование и устойчивость решения задачи Коши
Теорема 7.4. Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема, а функция непрерывно дифференцируема на бесконечной прямой Тогда классическое решение задачи Коши (7.3), (7.4) существует, единственно и определяется формулой Даламбера (7.10).
Доказательство. Единственность. Предположим, что классическое решение задачи Коши (7.3), (7.4) существует. Тогда оно представимо в виде (7.10). Если существует второе решение задачи (7.3), (7.4), то оно также должно представляться формулой (7.10) и тем самым совпадать с первым.
Существование. Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема, а функция непрерывно дифференцируема на бесконечной прямой. Тогда непосредственной проверкой легко установить, что функция представимая формулой Даламбера (7.10), является классическим решением задачи Коши.
Замечание. В формулировке теоремы условия, накладываемые на начальные функции менее жесткие, чем в теореме существования решения начально-краевой
задачи для уравнения колебаний на отрезке. Это связано с различными методами доказательства соответствующих теорем.
Формула Даламбера дает возможность доказать устойчивость решения задачи Коши (7.3), (7.4) по начальным данным. Обозначим через решение задачи Коши (6.3), (6.4) с начальными функциями
Теорема 7.5. Пусть начальные функции двух задач Коши (7.3), (7.4) удовлетворяют условиям
а
для любых постоянных а и
Тогда для решения этих задач при выполняется неравенство
Доказательство. Записав решения и задач Коши (7.3), (7.4) с помощью формулы Даламбера и оценивая модуль разности, получим
Оценивая интеграл в правой части с помощью неравенства Коши-Буняковского
и учитывая неравенство (7.11), имеем оценку
Замечание. Сформулированная теорема устойчивости справедлива для любых функций представимых формулой Даламбера. Поэтому можно расширить понятие решения задачи Коши (7.3) — (7.4) для случая негладких начальных функций Решением задачи Коши в случае негладких начальных функций будем называть предел выражений, представленных формулой Даламбера (7.10), полученных для сглаженных начальных функций сколь угодно близко аппроксимирующих функции