3. Случай многих пространственных переменных

1) Малые поперечные колебания мембраны.

В качестве первого примера рассмотрим уравнение, описывающее малые поперечные колебания мембраны.

Мембраной называется натянутая плоская пленка, не сопротивляющаяся изгибу или сдвигу, но оказывающая сопротивление растяжению. Например, мембраной в некоторых случаях можно считать плоскую пластину, толщина которой мала по сравнению с двумя другими измерениями.

Уравнение, описывающее малые поперечные колебания мембраны, можно вывести методом, аналогичным тому, которым было получено уравнение (1.18), описывающее малые поперечные колебания струны. Обозначим через величину поперечного смещения точки мембраны в момент времени Если рассматривать малые поперечные колебания мембраны, при которых смещение происходит перпендикулярно плоскости мембраны и при которых квадратами величин их и можно пренебречь, то уравнение малых поперечных колебаний мембраны будет иметь вид

где поверхностная плотность мембраны, натяжение, плотность импульса внешней поперечной силы, действующей на мембрану в точке в момент времени

Пусть в положении равновесия мембрана занимает область плоскости ограниченную контуром

Как и в одномерном случае, для однозначного определения процесса колебаний мембраны необходимо задание начальных и граничных условий. Например, если граница мембраны движется заданным образом в поперечном направлении, то граничное условие имеет следующий вид (граничное условие первого рода, или условие Дирихле):

где заданная функция. В частности, при получается условие закрепленной границы мембраны. Если к границе приложена заданная поперечная сила, то приходим к граничному условию второго рода, или условию Неймана

где - означает производную по нормали к контуру 1, лежащей в плоскости В частности, при имеем условие свободной границы.

Если же граница мембраны закреплена упруго и при этом движется по заданному закону в поперечном направлении, то граничным условием является граничное условие третьего рода, связывающее значение функции поперечного смещения и ее нормальной производной:

где заданные на контуре функции

Разумеется, в зависимости от реальных физических задач граничные условия могут быть и более сложного вида, в частности нелинейные и содержащие производные высших порядков, но мы в дальнейшем ограничимся условиями Дирихле, Неймана и третьего рода.

Таким образом, начально-краевая задача, описывающая процесс малых поперечных колебаний мембраны, ставится следующим образом:

2) Уравнения малых акустических колебаний в сплошной среде. Во многих задачах газодинамики можно не учитывать молекулярную структуру газа и рассматривать газ как сплошную среду. Иными словами, говоря о бесконечно малых элементах объема, подразумевают, что объем мал по сравнению с характерным размером системы, но содержит очень большое число молекул. Аналогично, когда говорят о движении частицы газа, то имеют в виду не движение отдельной молекулы газа, а смещение элемента объема, содержащего много молекул, но рассматриваемого в газодинамике как точка.

Пусть газ движется со скоростью проекции которой на оси координат обозначим Заметим, что есть скорость газа в данной точке пространства в момент времени т. е. относится к определенным точкам пространства, а не к определенным частицам газа, перемещающимся в пространстве.

Введем также плотность газа давление и плотность внешних действующих сил рассчитанных на единицу массы.

При таком способе описания говорят, что задача рассматривается в координатах Эйлера.

Получим прежде всего уравнение движения газа. Обозначим через некоторый объем газа, ограниченный поверхностью Равнодействующая сил давления, приложенных к поверхности равна

где единичный вектор внешней нормали и поверхности

Для преобразования этого интеграла воспользуемся формулами Остроградского

Поскольку где единичные векторы ортонормированного базиса, умножая первую формулу на вторую на третью на к и складывая, получим

С учетом последней формулы уравнение движения для объема газа в интегральной форме имеет следующий вид:

Вычисляя ускорение некоторой частицы газа, нужно учесть перемещение самой этой частицы. Траектории отдельных частиц газа определяются уравнениями

откуда

где оператор определяется следующим образом:

Предполагая, что все функции, входящие в формулу (1.20), являются достаточно гладкими, применяя формулу среднего

значения и переходя к пределу, стягивая объем в точку, получим, учитывая (1.21), уравнение движения газа в форме Эйлера

Выведем теперь уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения вещества. Пусть в выделенном объеме отсутствуют источники и стоки газа. Тогда изменение в единицу времени количества газа, заключенного внутри объема равно потоку газа через границу:

Преобразуя правую часть последней формулы по формуле Остроградского

будем иметь

Применяя формулу среднего значения и переходя к пределу, получим уравнение непрерывности

К полученному уравнению движения газа и уравнению непрерывности необходимо добавить термодинамическое уравнение состояния, которое мы запишем в общем виде:

где С — заданная функция.

В результате получается система пяти скалярных уравнений относительно пяти неизвестных функций

Система уравнений (1.22) — (1.24) представляет замкнутую систему уравнений газодинамики.

Колебательные движения в газе с малыми амплитудами называются звуковыми волнами. В каждой точке звуковой волны происходят поперечные сжатия и разрежения газа.

В силу малости колебаний в звуковой волне скорость в ней мала, так что в уравнении (1.22) можно пренебречь членами второго порядка вида и т. д. По той же причине относительные изменения плотности и давления газа также малы.

Положим где и - равновесные значения давления и плотности газа, их изменения в звуковой волне, причем Величина называется звуковым давлением.

Пренебрегая в системе (1.22) — (1.24) членами второго порядка, получим линеаризованную систему уравнений. Функцию разложим в ряд по степеням и учтем члены первого порядка. В результате получим

и, поскольку

Таким образом, замкнутая система малых акустических колебаний в сплошной среде имеет вид

Получим теперь уравнение относительно функции Продифференцируем уравнение (1.26) по t:

— 0 и подействуем оператором на уравнение (1.25):

Наконец, в линейном приближении из (1.27) получим

Обозначим Тогда из трех последних уравнений получим уравнение второго порядка относительно функции

Уравнение (1.28) является уравнением колебаний в трехмерном случае. Оно часто называется уравнением акустики.

В случае адиабатического процесса уравнение газового состояния имеет вид

где постоянная у — показатель адиабаты — теплоемкость при постоянном давлении; теплоемкость при постоянном объеме. В линейном приближении будем иметь

откуда

Сравнивая (1.29) с (1.27), получим

3) Уравнения Максвелла. В качестве третьего примера рассмотрим систехму уравнений Максвелла в однородной и изотропной среде. В системе СИ уравнения Максвелла имеют вид

где плотность тока проводимости, плотность тока сторонних сил, плотность объемных зарядов. К уравнениям (1.30) — (1.33) добавим материальные уравнения

где абсолютная диэлектрическая проницаемость, относительная диэлектрическая проницаемость, электрическая постоянная, — абсолютная магнитная проницаемость, относительная магнитная проницаемость, магнитная постоянная.

Плотность тока проводимости связана с вектором уравнением, выражающим закон Ома в дифференциальной форме:

где проводимость среды.

Поскольку среда по предположению однородна и изотропна, то величины о являются постоянными скалярными величинами.

Подействуем на обе части уравнения (1.30) оператором В результате получим (с учетом

С другой стороны, по известной формуле векторного анализа к) имеем

Из формул (1.31), (1.34), (1.36) и (1.37) получим уравнение

Аналогичное уравнение получается для вектора

Уравнение (1.38) называется векторным волновым уравнением. Как будет следовать из дальнейшего рассмотрения, первая производная по времени определяет затухание колебаний — диссипативные потери энергии.

Для компонент вектора магнитного поля из (1.38) получим скалярные волновые уравнения, которые в декартовых координатах можно записать в виде

где — оператор Лапласа, и — любая из декартовых компонент вектора