2. Существование классического решения уравнения теплопроводности на отрезке

Рассмотрим задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами на отрезке при однородных условиях Дирихле:

где коэффициент коэффициент теплопроводности, с — удельная теплоемкость, плотность. Коэффициент часто называют коэффициентом температуропроводности.

Формальное построение решения этой задачи методом Фурье было проведено в гл. III. Оно имеет вид

где

Покажем, что при определенных условиях на функцию ряд (4.13) с коэффициентами, вычисляемыми по формуле (4.14), представляет собой классическое решение задачи

Напомним, что необходимым условием существования классического решения задачи (4.10) — (4.12) является условие согласования начального (4.11) и граничных (4.12) условий:

Предварительно сформулируем полезное вспомогательное положение — обобщенный принцип суперпозиции.

Лемма 6.1 (обобщенный принцип суперпозиции). Пусть частные решения линейного однородного дифференциального уравнения обыкновенного или в частных производных и пусть все дифференциальные операции над функцией входящие в это уравнение, можно проводить путем почленного дифференцирования ряда. Тогда функция также удовлетворяет уравнению

Доказательство. При выполнении сформулированных в лемме условий получаем

В качестве достаточного условия для возможности почленного дифференцирования ряда будем пользоваться равномерной сходимостью ряда получаемого в результате дифференцирования.

Напомним также известное свойство рядов Фурье.

Если периодическая с периодом 21 функция имеет на отрезке непрерывных производных, а производная ее на этом отрезке кусочно-непрерывна, то сходится числовой ряд

где коэффициенты Фурье в разложении функции по тригонометрической системе

Если функция задана на отрезке и разлагается в ряд Фурье только по то сформулированные требования должны выполняться для функции являющейся нечетным продолжением функции В частности, для непрерывности и периодичности с периодом 21 функции необходимо, чтобы Непрерывность первой производной в точках при нечетном продолжении получается автоматически.

Теорема 6.7. Пусть функция непрерывна на отрезке имеет на нем кусочно-непрерывную производную и удовлетворяет условиям Тогда существует классическое решение задачи (4.10) — (4.12), представимое рядом (4.13) с коэффициентами (4.14).

Доказательство. Ряд (4.13) с коэффициентами (4.14) удовлетворяет однородным граничным условиям (4.12), поскольку им удовлетворяют все собственные функции и при переходит в тригонометрический ряд Фурье на отрезке для функции удовлетворяющей условию разложимости в ряд Фурье:

Остается доказать, что ряд (4.13) сходится в области и функция представимая этим рядом, непрерывна в области обладает непрерывными производными, входящими в уравнение (4.10), и удовлетворяет однородному уравнению (4.10) в области Так как каждый член ряда (4.13) является частным решением однородного уравнения (4.10), то в силу обобщенного принципа суперпозиции достаточно показать, что в области существуют производные функции входящие в уравнение (4.10), и их можно вычислять путем почленного дифференцирования ряда (4.13).

Покажем прежде всего, что функция представимая рядом (4.13), непрерывна в области й. Из формулы (4.15) следует, что мажорантным для ряда (4.13) будет ряд из модулей коэффициентов Фурье функции

который сходится в силу условий, наложенных на функцию и сформулированных выше свойств рядов Фурье. Тем самым ряд (4.13) сходится равномерно к функции в области и функция непрерывна в

Следовательно, при функция удовлетворяет начальному условию (4.11), а при функция удовлетворяет однородным граничным условиям (4.12).

Покажем теперь, что при где любое число, сходятся равномерно ряды из производных

где

— общий член ряда (4.13).

Поскольку функция непрерывна на отрезке то она ограничена на нем

где некоторая постоянная и

Поэтому при получаем

и

Из формул (4.17), (4.18) вытекает, что для доказательства равномерной сходимости рядов (4.16) нужно доказать сходимость мажорантных рядов вида

где Для первого мажорантного ряда к для второго.

Сходимость ряда вида (4.19) следует из признака сходимости Даламбера, так как

Поскольку при мажорантные ряды для рядов (4.16) сходятся, то сами ряды сходятся равномерно и ряд (4.13) можно дифференцировать почленно дважды по х и один раз по при или, ввиду произвольности в области

В силу обобщенного принципа суперпозиции функция представимая рядом (4.13), удовлетворяет уравнению (4.10).

Итак, мы доказали, что при условиях теоремы функция представимая формулой (4.13) с коэффициентами (4.14), является классическим решением начально-краевой задачи