2. Основные свойства классических ортогональных полиномов

1) Классические ортогональные полиномы по определению ортогональны на отрезке с весом

2) Теорема о нулях.

Теорема 4.1. Классический ортогональный полином имеет простых нулей строго внутри отрезка

Доказательство. Пусть произвольное фиксированное целое положительное число. В силу ортогональности полиномов имеем

Следовательно, полином меняет знак на интервале в некотором числе различных точек при Тогда полином имеет вид

где не меняет знака на Для доказательства теоремы достаточно показать, что Предположим противное: пусть Так как система классических ортогональных полиномов содержит полиномы всех степеней, то для полинома справедливо разложение

где Так как имеем

С другой стороны,

так как функция не меняет знак на интервале Сравнивая последние две формулы, получаем противоречие.

Следовательно, а поскольку полином степени не может иметь более нулей, то Отсюда вытекает, что все корни простые. Теорема доказана.

Замечание. В силу основной теоремы высшей алгебры любой полином степени на комплексной плоскости имеет ровно нулей (с учетом их кратности). Из доказанной теоремы следует, что все нули классического ортогонального полинома сосредоточены строго внутри отрезка действительной оси комплексной плоскости

Так как между двумя нулями дифференцируемой функции по теореме Ролля имеется хотя бы один нуль ее производной то из этого свойства и доказанной теоремы получаем

Следствие. Все нули производных классического ортогонального полинома простые и расположены строго внутри отрезка

3) Покажем, что производные также являются классическими ортогональными полиномами, заданными на отрезке и ортогональными с новым весом

При имеем

Действительно, есть полином степени и может быть представлен в виде

откуда следует (3.6). Воспользуемся уравнением Пирсона (3.1) для и вычислим интеграл по частям. Учитывая, что в силу условия (3.2) подстановки обратятся в нуль, получим

Так как полином степени не выше аналогично формуле (3.6) получаем, что второй интеграл в формуле (3.7) равен нулю. Поэтому

Следовательно, при полином степени ортогонален ко всем полиномам меньшей степени с весом

Осталось показать, что весовая функция удовлетворяет уравнению Пирсона (3.1). Имеем

где — линейная функция. Очевидно, что произведение обращается в нуль в точках а и

Замечание. Методом математической индукции легко показать, что производные классических ортогональных полиномов образуют на отрезке систему классических ортогональных полиномов ортогональных с весом (очевидно,

4) Получим дифференциальное уравнение для классических ортогональных полиномов.

Запишем формулу (3.8) в виде

Интегрируя по частям, получим

откуда, используя уравнение Пирсона (3.1), находим

при всех Обозначим

Полином степени разложим по системе классических ортогональных полиномов:

Учитывая (3.9), получим

откуда при следовательно, Обозначив будем иметь

Уравнение (3.10) можно записать в самосопряженной форме. Для этого умножим (3.10) на используя уравнение Пирсона (3.1), приведем его к виду

5) В случае конечного отрезка в силу поведения функции при или граничные точки отрезка являются особыми точками уравнения (3.11). Тем самым классические ортогональные полиномы являются собственными функциями краевой задачи Штурма-Лиувилля для уравнения (3.11) на отрезке с условиями ограниченности в граничных точках:

При постановке задачи Штурма-Лиувилля граничные условия выделяют одно из двух линейно независимых решений линейного дифференциального уравнения второго порядка.

В силу леммы 4.1 в случае, когда граничные точки являются особыми точками уравнения, условия ограниченности достаточны для выделения единственного решения.

Поскольку в силу теоремы Вейерштрасса ортогональные полиномы образуют на конечном отрезке полную и замкнутую систему, для них имеет место теорема разложимости Стеклова и они исчерпывают все собственные функции краевой задачи (3.12). В самом деле, если предположить, что при некотором значении параметра Я, отличного от существует

собственная функция задачи (3.12), не являющаяся классическим ортогональным полиномом, то в силу общих свойств собственных функций непрерывная функция должна быть ортогональна ко всем функциям системы классических ортогональных полиномов и в силу замкнутости этой системы тождественно равна нулю.

Постановку краевой задачи Штурма-Лиувилля в случае бесконечного или полубесконечного интервала мы рассмотрим позже на примере конкретных классических ортогональных полиномов.

Найдем выражение для собственных значений задачи (3.12). Выпишем коэффициент при в уравнении (3.10). Поскольку

то, подставляя эти выражения в (3.10), получим коэффициент при в виде

где

Отсюда, приравнивая коэффициент при в уравнении (3.10) нулю, получим

6) Уравнение (3.11) можно записать в виде

где Так как производные порядка классических ортогональных полиномов снова являются классическими ортогональными полиномами, то, повторяя рассуждения п. 4), получим для них уравнение

где

7) Получим явное представление для классических ортогональных полиномов. В силу уравнения (3.14)

и, в частности, рекуррентно применяя последнюю формулу, находим

где

Так как то, полагая в формуле получим

или, обозначая

Формула (3.16) называется обобщенной формулой Родрига. Коэффициенты в формуле (3.16) определяются из условия нормировки, поскольку классические ортогональные полиномы как решения однородного уравнения определяются с точностью до множителя.

8) Формула Родрига позволяет получить значение квадрата нормы классических ортогональных полиномов. Учитывая, что где полином степени получим

Отсюда, используя формулу Родрига (3.16), будем иметь

Интегрируя раз по частям и учитывая, что в силу условия (3.2) подстановки обратятся в нуль, получим формулу для квадрата нормы классических ортогональных полиномов