2. Обобщенное решение. Условия на разрыве

Для того чтобы исключить неоднозначные решения, оказывается необходимым расширить понятие решения уравнения (12.6) и вместо непрерывно дифференцируемых решений рассматривать разрывные. При этом, разумеется,

необходимо придать новый смысл выражению «функция и удовлетворяет уравнению Естественным здесь является введение обобщенных решений так, как они вводятся в теории обобщенных функций.

Напомним определение. Будем говорить, что функция удовлетворяет уравнению (12.6) в обобщенном смысле, если для любого прямоугольника и любой бесконечно дифференцируемой и финитной в функции справедливо интегральное тождество

Из (12.12) следует, что если обобщенное решение (12.6) непрерывно дифференцируемо, то оно удовлетворяет (12.6) в обычном смысле, поскольку, интегрируя (12.12) по частям, получим

Отсюда в силу произвольности и функции будем иметь (12.6). Тем самым данное выше определение обобщенного решения действительно является расширенным понятием классического решения.

Применим введенное понятие обобщенного решения для установления простейших свойств разрывных решений уравнения (12.6). Пусть разрывное решение, имеющее единственный разрыв на кривой, описываемой уравнением и представляющей собой на плоскости линию Рассмотрим произвольный прямоугольник содержащий линию 5. Предположим также, что в частях и на которые линия делит прямоугольник решение непрерывно дифференцируемо, т. е. удовлетворяет (12.6) в обычном классическом смысле (рис. 7.17).

Преобразуем формулу (12.12) отдельно в частях Интегрируя по частям, получим

Здесь учтено, что функция удовлетворяет уравнению (12.6), и приняты следующие обозначения: направляющие косинусы вектора

нормали изображенного на рис. 7.17; индексы обозначают предельные значения функции на кривой 5 при стремлении к ней «справа» и «слева» от кривой.

Складывая полученные формулы, имеем

где Учитывая произвольность функции из равенства (12.13) легко выводим, что

Поскольку то из (12.14) после сокращения на получим

Формула (12.15) связывает скорость распространения разрыва и значения решения слева и справа от разрыва. Она называется формулой Гюгонио-Ренкина, или формулой условий на разрыве.

Знание этой формулы позволяет определить скорость распространения разрыва по значениям и решения на разрыве, но, однако, не дает ответа на вопрос о положении разрыва Мы не будем останавливаться на детальном решении этого вопроса, а укажем (без обоснования) лишь способ построения разрыва. Основная идея, на которой основано это построение, опирается на следующий факт. Уравнение (12.6), записанное в виде

имеет вид одномерного уравнения неразрывности или закона сохранения. Интегрируя (12.16) по переменной х, получим

при естественном предположении 0 при

Из этих формул следует, что площадь I под кривой оказывается инвариантной во времени, т. е. является интегралом движения. Разумеется, этот вывод снраведлив лишь для однозначных решений

Основная идея при проведении разрыва состоит в том, чтобы при построении разрыва сохранить этот интеграл движения и для случая разрывного решения. Это приводит к следующему правилу построения разрывов. Разрыв необходимо построить таким образом, чтобы отвечающий разрывному решению, был равен для начальной функции Практически при наличии неоднозначного профиля, изображенного на рис. 7.18, это делается так.

Рис. 7.17

Рис. 7.18

Разрыв проводят таким образом, чтобы заштрихованные площади были равны между собой. В результате мы получим из непрерывного неоднозначного решения разрывное, но уже однозначное решение, являющееся обобщенным решением уравнения (12.6). Условие на разрыве выполняется при этом автоматически.