4. Функция Грина внутренней задачи Неймана

Перейдем к рассмотрению внутренней задачи

Неймана

Прежде всего заметим, что, как было показано ранее, задача (4.12) имеет решение не всегда, а в том случае, когда решение существует, оно неединственно и определяется с точностью до постоянного слагаемого.

Снова рассмотрим формулу (4.4). Покажем, что в данном случае нельзя наложить на функцию дополнительное условие

чтобы исключить слагаемое, содержащее (аналогично тому, как это было сделано для первой и третьей краевых задач). Действительно, если потребовать удовлетворения функцией дополнительного условия (4.13), то для определения функции получим краевую задачу

Проверим разрешимость этой задачи. Необходимое условие разрешимости имеет вид

Для вычисления интеграла

воспользуемся третьей формулой Грина, положив в ней Тогда получим

Следовательно, задача (4.14) решения не имеет. Это означает, что функции удовлетворяющей условию (4.13), не существует.

Снова обратимся к формуле (4.4):

Напомним, что основная цель, которую мы преследуем при введении функции Грина, состоит в получении интегрального представления решения задачи (4.12). Нам нужно избавиться от слагаемого, содержащего Мы установили, что функции удовлетворяющей условию не существует.

Вспомнив, что решение внутренней задачи Неймана определено только с точностью до произвольного постоянного слагаемого, заметим, что получим интегральное представление решения, подчинив функцию граничному условию

поскольку в этом случае слагаемое в формуле (4.16), содержащее значение и дает постоянную. Постоянную выберем так, чтобы была разрешима внутренняя вторая краевая задача для

Для этого должно выполняться соотношение

В силу равенства (4.15) отсюда получаем

где площадь поверхности

Определение. Функция называется функцией Грина внутренней задачи Неймана для оператора Лапласа, если:

1) где гармоническая в функция;

2) где площадь поверхности

Подставляя функцию Грина в (4.16), получим выражение для решения задачи (4.12):

Слагаемое есть среднее значение функции и на поверхности Оно является некоторой постоянной (вообще говоря, неизвестной). Но само решение задачи Неймана определено с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Это слагаемое можно выбрать так, что среднее значение решения на поверхности будет равно нулю. Формула

дает то решение задачи Неймана, которое имеет среднее значение на поверхности равное нулю. Общее решение задачи Неймана имеет вид

Заметим, что функция Грина внутренней задачи Неймана определена с точностью до постоянного слагаемого, точнее, до слагаемого, зависящего от координат точки Это слагаемое можно выбрать так, чтобы

Этим дополнительным условием функция Грина определяется однозначно. Теперь можно показать, повторив рассуждение п. 2, что функция Грина внутренней задачи Неймана симметрична:

Напомним, что внутренняя задача Неймана

разрешима только при условии Функция определенная формулой

существует и является решением уравнения Лапласа при любой непрерывной функции Возникает вопрос: какое решение уравнения Лапласа дает формула (4.22), если когда задача (4.21) не имеет решения? Можно показать, что

где площадь поверхности Следовательно, формула (4.22) дает решение следующей задачи:

для которой условие разрешимости, как легко проверить, выполнено автоматически.