Главная > Лекции по математической физике
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4. Функция Грина внутренней задачи Неймана

Перейдем к рассмотрению внутренней задачи

Неймана

Прежде всего заметим, что, как было показано ранее, задача (4.12) имеет решение не всегда, а в том случае, когда решение существует, оно неединственно и определяется с точностью до постоянного слагаемого.

Снова рассмотрим формулу (4.4). Покажем, что в данном случае нельзя наложить на функцию дополнительное условие

чтобы исключить слагаемое, содержащее (аналогично тому, как это было сделано для первой и третьей краевых задач). Действительно, если потребовать удовлетворения функцией дополнительного условия (4.13), то для определения функции получим краевую задачу

Проверим разрешимость этой задачи. Необходимое условие разрешимости имеет вид

Для вычисления интеграла

воспользуемся третьей формулой Грина, положив в ней Тогда получим

Следовательно, задача (4.14) решения не имеет. Это означает, что функции удовлетворяющей условию (4.13), не существует.

Снова обратимся к формуле (4.4):

Напомним, что основная цель, которую мы преследуем при введении функции Грина, состоит в получении интегрального представления решения задачи (4.12). Нам нужно избавиться от слагаемого, содержащего Мы установили, что функции удовлетворяющей условию не существует.

Вспомнив, что решение внутренней задачи Неймана определено только с точностью до произвольного постоянного слагаемого, заметим, что получим интегральное представление решения, подчинив функцию граничному условию

поскольку в этом случае слагаемое в формуле (4.16), содержащее значение и дает постоянную. Постоянную выберем так, чтобы была разрешима внутренняя вторая краевая задача для

Для этого должно выполняться соотношение

В силу равенства (4.15) отсюда получаем

где площадь поверхности

Определение. Функция называется функцией Грина внутренней задачи Неймана для оператора Лапласа, если:

1) где гармоническая в функция;

2) где площадь поверхности

Подставляя функцию Грина в (4.16), получим выражение для решения задачи (4.12):

Слагаемое есть среднее значение функции и на поверхности Оно является некоторой постоянной (вообще говоря, неизвестной). Но само решение задачи Неймана определено с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Это слагаемое можно выбрать так, что среднее значение решения на поверхности будет равно нулю. Формула

дает то решение задачи Неймана, которое имеет среднее значение на поверхности равное нулю. Общее решение задачи Неймана имеет вид

Заметим, что функция Грина внутренней задачи Неймана определена с точностью до постоянного слагаемого, точнее, до слагаемого, зависящего от координат точки Это слагаемое можно выбрать так, чтобы

Этим дополнительным условием функция Грина определяется однозначно. Теперь можно показать, повторив рассуждение п. 2, что функция Грина внутренней задачи Неймана симметрична:

Напомним, что внутренняя задача Неймана

разрешима только при условии Функция определенная формулой

существует и является решением уравнения Лапласа при любой непрерывной функции Возникает вопрос: какое решение уравнения Лапласа дает формула (4.22), если когда задача (4.21) не имеет решения? Можно показать, что

где площадь поверхности Следовательно, формула (4.22) дает решение следующей задачи:

для которой условие разрешимости, как легко проверить, выполнено автоматически.

1
Оглавление
email@scask.ru