§ 6. ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ
Рассмотрим уравнение Лапласа в шаре радиуса а:
Будем искать решение уравнения (6.1) методом разделения переменных, отделяя прежде всего радиальную зависимость:
Подставляя (6.2) в (6.1) и разделяя переменные, получим
Учитывая, что из рассмотренной в § 5 задачи Штурма-Лиувилля для сферических функций вытекает
получим из (6.3) и (6.4) уравнение для радиальной части
Последнее уравнение является уравнением Эйлера, решение которого ищется в виде
Подставляя (6.6) в (6.5) и сокращая на 
получим характеристическое уравнение для определения параметра а:
Его решения имеют вид 
Таким образом, получим два семейства частных решений для уравнения Лапласа
Определение. Функции 
определяемые формулой (6.7) и являющиеся частными решениями уравнения Лапласа в сферической системе координат, называются шаровыми функциями.
Функции 
ограниченные в начале координат и растущие на бесконечности, используются для решения внутренней задачи, функции 
неограниченные в окрестности начала координат и стремящиеся к нулю на бесконечности, — для решения внешней.
