Лекции по математической физике

Научная библиотека

Научная библиотека

Лекции по математической физике

Свешников А. Г., Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Лекции по математической физике: Учеб. пособие. — М.: Изд-во МГУ, 1993. — 352 с.

В книге рассматриваются основные методы исследования краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики. Отличительной особенностью учебного пособия является непосредственная связь между физической сущностью изучаемых явлений и математическими методами их исследования В пособии содержится математический аппара, знание которого необходимо студентам-физикам для дальнейшей работы в области экспериментальной и теоретической физики Одна из глав посвящена изложению теории специальных функций — важнейшему аналитическому аппарату исследования краевых задач математической физики

Для студентов физических специальностей университетов

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
Глава I. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
§ 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ВОЛНОВЫМИ ПРОЦЕССАМИ
2. Малые поперечные колебания упругой струны
3. Случай многих пространственных переменных
§ 2. ПРОЦЕССЫ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА
§ 3. СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ
1. Стационарное распределение тепла
2. Задачи электростатики
3. Установившиеся колебания
4. Установившиеся электромагнитные колебания
5. Постановка краевых задач
§ 4. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Глава II. КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 2. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
§ 3. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ В СЛУЧАЕ МНОГИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава III. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
§ 2. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ФОРМУЛЫ ГРИНА
§ 3. ПОЛНЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
§ 4. ОБЩАЯ СХЕМА МЕТОДА РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ
§ 5. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ
§ 6. НЕОДНОРОДНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
§ 7. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
§ 8. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
Глава IV. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. УРАВНЕНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ И СВОЙСТВА ЕГО РЕШЕНИЙ
§ 2. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2. Свойства гамма-функции
3. Степенной ряд для функций Бесселя
4. Рекуррентные формулы
5. Функции Бесселя полуцелого порядка
6. Интегральное представление функций Бесселя
7. Функции Ханкеля. Интегральное представление
8. Связь функций Ханкеля и Бесселя. Функция Неймана
9. Линейная независимость цилиндрических функций
10. Асимптотика цилиндрических функций
11. Цилиндрические функции чисто мнимого аргумента. Функции Инфельда и Макдональда
§ 3. КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
2. Основные свойства классических ортогональных полиномов
3. Производящая функция классических ортогональных полиномов
4. Полиномы Якоби
5. Полиномы Лежандра
6. Полиномы Лагерра
7. Полиномы Эрмита
§ 4. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
2. Краевая задача для присоединенных функций Лежандра
3. Полнота и замкнутость системы присоединенных функций Лежандра
§ 5. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 6. ШАРОВЫЕ ФУНКЦИИ
§ 7. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА ДЛЯ КАНОНИЧЕСКИХ ОБЛАСТЕЙ
2. Собственные функции цилиндра
3. Собственные функции шара
Глава V. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
2. Основные свойства гармонических функций
§ 2. ВНУТРЕННИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
2. Внутренние вторая и третья краевые задачи
§ 3. ВНЕШНИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
2. Единственность решения внешних задач в трехмерном случае
3. Единственность решения внешних задач для уравнения Лапласа на плоскости
§ 4. ФУНКЦИЯ ГРИНА ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА
2. Свойства функции Грина задачи Дирихле
3. Функция Грина внутренней третьей краевой задачи
4. Функция Грина внутренней задачи Неймана
5. Функции Грина внешних краевых задач
6. Примеры построения функций Грина
7. Функция Грина задачи Дирихле на плоскости
§ 5. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУГЕ И ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ
2. Краевая задача для уравнения Лапласа в прямоугольнике
§ 6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
3. Поверхностные потенциалы
4. Непрерывность потенциала простого слоя
5. Поверхности Ляпунова
6. Существование и непрерывность прямых значений потенциала двойного слоя на поверхности
7. Разрыв потенциала двойного слоя
8. Разрыв нормальной производной потенциала простого слоя
§ 7. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
2. Интегральное уравнение для внутренней задачи Дирихле
3. Интегральное уравнение для внешней задачи Неймана
4. Интегральное уравнение для внутренней задачи Неймана и внешней задачи Дирихле
Глава VI. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
§ 1. ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
§ 2. ПРИНЦИП МАКСИМУМА
§ 3. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ
§ 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В СЛУЧАЕ ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ
2. Существование классического решения уравнения теплопроводности на отрезке
§ 5. ФУНКЦИЯ ГРИНА
§ 6. НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И НЕОДНОРОДНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
2. Неоднородное граничное условие
§ 7. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
2. Теорема единственности
3. Фундаментальное решение. Интеграл Пуассона
4. Свойства фундаментального решения
§ 8. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
2. Пример
§ 9. НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ
§ 10. НАЧАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 11. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ПОЛУПРЯМОЙ
2. Однородные граничные условия
3. Краевой режим
4. Неоднородное граничное условие второго рода
§ 12. ФОРМУЛА ГРИНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
§ 13. УРАВНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ГОРЕНИЯ
Глава VII. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
§ 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ
§ 5. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ
§ 6. ФОРМУЛА ГРИНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ
§ 7. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ НА НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПРЯМОЙ
2. Формула Даламбера
3. Существование, единственность и устойчивость решения задачи Коши
4. Физическая интерпретация решения
5. Колебания струны под действием мгновенного сосредоточенного импульса
6. Существование и единственность решения
§ 8. ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛУОГРАНИЧЕННОЙ ПРЯМОЙ
§ 9. КОЛЕБАНИЯ В НЕОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
2. Формула Кирхгофа
3. Формула Пуассона
4. Метод спуска
5. Локальные начальные условия
6. Установившиеся колебания
§ 10. ЗАДАЧА С ДАННЫМИ НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ (ЗАДАЧА ГУРСА)
§ 11. ОБЩАЯ ЗАДАЧА КОШИ. ФУНКЦИЯ РИМАНА
§ 12. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
2. Обобщенное решение. Условия на разрыве
3. Уравнение Кортевега — де Фриза и законы сохранения
4. Схема метода обратной задачи
5. Солитонные решения
Глава VIII. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
§ 1. ЗАДАЧА ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА
2. Свойства собственных значений и собственных функций
§ 2. СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
3. Потенциалы уравнения Гельмгольца
4. Принцип максимума для уравнения …
§ 3. ВНУТРЕННИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
§ 4. ФУНКЦИЯ ГРИНА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
§ 5. ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ … В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ
§ 6. ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ … В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ
2. Принцип предельного поглощения
ЛИТЕРАТУРА
ДОПОЛНЕНИЕ