§ 4. ОБЩАЯ СХЕМА МЕТОДА РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ДЛЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ

Метод разделения переменных, или метод Фурье, состоит в построении решения начально-краевой задачи в виде ряда по некоторой ортонормированной системе функций, причем эта система функций естественно возникает из самой задачи.

Рассмотрение метода Фурье начнем с наиболее простой задачи (1.6):

Прежде всего построим систему функций, по которой удобно разлагать решение задачи (4.1) — (4.3). Для этого рассмотрим вспомогательную задачу:

найти нетривиальные в решения уравнения

удовлетворяющие однородному граничному условию

и представимые в виде

Подставляя искомый вид (4.6) решения в уравнение (4.4), получим тождество

которое после деления на принимает вид

Левая часть тождества (4.7) зависит только от правая — только от Поскольку и независимые переменные, а тождество выполняется при всех и то оно справедливо только в том случае, когда обе его части равны некоторой постоянной, которую обозначим — X (ничего не предполагая о знаке X):

Отсюда получаем

Подставляя (4.6) в граничное условие (4.5), получаем

Таким образом, для определения функции получаем задачу, которая также называется задачей Штурма-Лиувилля:

найти те значения параметра Я, при которых существуют нетривиальные решения уравнения

удовлетворяющие однородному граничному условию

Эти значения параметра X называются собственными значениями оператора в области с граничным условием (4.9), а соответствующие им ненулевые решения — собственными функциями задачи (4.8) — (4.9).

В дальнейшем будет показано, что поставленная задача Штурма-Лиувилля (4.8) - (4.9) имеет решение. Будут также указаны некоторые простейшие области, для которых собственные функции выписываются явно, хотя при этом и требуется введение специальных функций.

Сейчас перечислим свойства собственных значений и собственных функций, поскольку они нам необходимы для изложе-. метода разделения переменных.

1. Существует бесконечное счетное множество собственных значений и собственных функций собственные значения при увеличении номера неограниченно возрастают. Каждому собственному значению соответствует лишь конечное число линейно независимых собственных функций, т. е. ранг всех собственных значений конечен

В дальнейшем будем считать, что в последовательности каждое собственное значение повторяется столько раз, каков его ранг.

2. При собственные значения задачи Дирихле положительны:

3. Собственные функции ортогональны между собой в области с весом

4. Теорема разложимости Стеклова. Произвольная дважды непрерывно дифференцируемая в функция удовлетворяющая граничному условию (4.9), разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям данной краевой задачи:

Итак, пусть задача Штурма-Лиувилля (4.8) - (4.9) решена. Обозначим через собственные значения и через ортонормированные собственные функции данной задачи Штурма-Лиувилля

Рассмотрим теперь уравнения для при фиксированном значении

Для получено обыкновенное линейное дифференциальное уравнение порядка. Следовательно, его общее решение имеет вид

где произвольные постоянные, фундаментальная система решений. Будем считать, что фундаментальная система решений удовлетворяет начальным условиям

Таким образом, вспомогательная задача (4.4) — (4.6) решена и найдена бесконечная счетная система решений

где собственная функция, определена соотношением (4.11).

Решение исходной задачи (4.1) — (4.3) будем искать в виде разложения в ряд по системе (4.12):

Из начальных условий (4.3) для коэффициентов получаем

Умножая (4.14) на интегрируя по и используя ортонормированность собственных функций, определяем коэффициенты

Таким образом, формальное решение задачи (4.1) — (4.3) имеет вид (4.13), где определяются соотношениями (4.15). Если функции удовлетворяют условиям, при которых ряд (4.13) можно нужное число раз почленно дифференцировать по то ряд (4.13) дает классическое решение поставленной задачи. Эти исследования в общем виде мы проводить не будем. Для простейших случаев уравнения теплопроводности и уравнения колебаний они будут проведены позже.

Выпишем выражения функций для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний.

Для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами

Следовательно, уравнение (4.9) имеет вид

и его общее решение

Для уравнения колебаний с постоянными коэффициентами

Уравнение (4.9) принимает вид

и> его общее решение