6. Существование и непрерывность прямых значений потенциала двойного слоя на поверхности

Всюду в дальнейшем будем рассматривать поверхностные потенциалы только на поверхностях Ляпунова. Теорема Потенциал двойного слоя

с ограниченной плотностью на поверхности существует, т. е. является сходящимся несобственным интегралом при

В этом случае этот сходящийся несобственный интеграл называется прямым значением потенциала двойного слоя на

Доказательство. Пусть произвольная точка Оценим подынтегральную функцию в окрестности точки Введем локальную систему координат, как это было сделано выше. Пусть точка имеет координаты Тогда

Отсюда, учитывая оценки (6.4) — (6.7). получаем

Следовательно, для точек поверхности в окрестности точки подынтегральная функция в (6.8) имеет оценку

которая обеспечивает сходимость несобственного интеграла (6.8) в точках поверхности Оценка (6.10) справедлива для любой точки расположенной на поверхности Поэтому

эта оценка обеспечивает равномерную по сходимость интеграла (6.8) в любой точке и его непрерывность на поверхности

Итак, существует прямое значение потенциала двойного слоя, и это прямое значение непрерывно как функция точек поверхности

На плоскости потенциал двойного слоя существует в точках кривых Ляпунова, которые определяются условиями, аналогичными условиям 1—3 для поверхности.