7. Функции Ханкеля. Интегральное представление
Формула (2.27) подсказывает, что можно искать решение уравнения Бесселя (2.1) в форме интегралов на комплексной плоскости вида
где С — контур на комплексной плоскости 
концы которого уходят на бесконечность, а функция 
Контур С может уходить на бесконечность лишь в тех областях, где обеспечена сходимость интеграла (2.29). При вещественном 
сходимость интеграла обеспечивается, если мнимая часть 
меньше нуля:
При 
имеем 
и условие (2.30) выполняется, если 
при
При 
условие (2.30) выполняется, если
Таким образом получаем систему областей (заштрихованных на рис. 4.3), в которых контур может уходить на бесконечность. Заметим, что введенный ранее контур 
по которому ведется интегрирование в формуле (2.27), лежит в данных областях.
Покажем теперь, что 
удовлетворяет уравнению Бесселя. Обозначим через 
оператор Бесселя
а через 
ядро интеграла (2.29):
Легко убедиться в справедливости формулы
Проинтегрируем интеграл 
по частям, учитывая, что в силу выбора контура С подстановки на бесконечности обращаются в нуль (заметим, что для интеграла (2.29) выполняются условия дифференцируемости под знаком интеграла), получим
Из полученного выражения следует, что при 
функция 
определенная соотношением (2.29), будет удовлетворять уравнению Бесселя 
Выбирая различным образом контур интегрирования, можно получать различные цилиндрические функции.
Определение. Функциями Ханкеля первого и второго рода называются функции, определяемые интегралами
и
где контуры интегрирования 
имеют вид, изображенный на рис. 4.4.
Функции Ханкеля первого и второго рода могут быть аналитически продолжены с положительной полуоси х на всю комплексную плоскость с разрезом по отрицательной части вещественной оси. Рассмотрим некоторые свойства функций 
1) Функции Ханкеля положительного и отрицательного индекса связаны следующими соотношениями:
Рис. 4.4
Докажем, например, формулу (2.33). По определению
Сделаем в интеграле замену переменных 
в результате которой контур 
перейдет в такой же контур с изменением направления обхода. Учитывая, что 
и изменяя направление обхода, снова приходим к интегралу по контуру 
Формула (2.34) доказывается аналогично с помощью замены 
2) Для функций Ханкеля справедливы рекуррентные соотношения, аналогичные рекуррентным соотношениям для функции Бесселя (см. формулы (2.19) и (2.20)):
Рассмотрим для определенности функцию Ханкеля первого рода и докажем формулу (2.35). Продифференцируем левую часть формулы (2.35):
Из формулы (2.31) следует, что
С другой стороны, интегрируя правую часть формулы (2.31) по частям и учитывая, что в силу выбора контура интегрирования подстановки на бесконечности обращаются в нуль, получим
Подставляя (2.38) и (2.39) в правую часть формулы (2.37), получим (2.35). Формула (2.36) доказывается совершенно аналогично.
