§ 3. ВНУТРЕННИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

Перейдем к изучению внутренних краевых задач для уравнения Ди При этом будем отдельно рассматривать случаи

1. Внутренняя задача Дирихле для уравнения ...

Сначала исследуем случай Начнем с задачи Дирихле

Напомним, что классическим решением задачи (3.1), (3.2) называется функция и, дважды непрерывно дифференцируемая в области и удовлетворяющая в ней уравнению (3.1),

непрерывная в замкнутой области и удовлетворяющая условию (3.2) на

Теорема 8.3. Задача (3.1), (3.2) не может иметь более одного классического решения.

Доказательство. В силу линейности достаточно показать, что однородная задача

имеет только тривиальное решение. Воспользуемся принципом максимума. Функция и не может внутри достигать положительного максимума. Следовательно, в силу граничных условий Она не может также внутри достигать и отрицательного минимума. Следовательно, Объединяя эти два неравенства, получаем т. е. однородная задача имеет только тривиальное решение.

Из принципа максимума сразу вытекает устойчивость решения задачи Дирихле по граничным условиям.

Теорема 8.4. Пусть классические решения задач

Если всюду на то всюду в

Доказательство. Пусть Согласно (2.11) всюду в Согласно (2.12)

Следовательно, всюду в

т. е. Следовательно, решение задачи Дирихле устойчиво в равномерной норме.

2. Вторая и третья краевые задачи для уравнения ...

Исследование единственности решения второй и третьей краевых задач будем проводить одновременно, используя энергетический метод.

Рассмотрим третью краевую задачу:

Классическим решением задачи (3.3), (3.4) называется дважды непрерывно дифференцируемая в функция

удовлетворяющая в уравнению (3.3), имеющая непрерывные первые производные в замкнутой области и удовлетворяющая граничному условию (3.4) на

Теорема 8.5. При на краевая задача (3.3), (3.4) не может иметь более одного классического решения. Доказательство. Покажем, что однородная задача

имеет только тривиальное решение.

Применим к решению однородной задачи первую формулу Грина:

Учитывая, что получаем

Следовательно,

Заметим, что условие на функцию физически означает, что поток вектора и направлен из области наружу.

Отметим, что, как и для уравнения Лапласа, условие на знак функции существенно для справедливости теоремы. При на решение может быть неединственным. В этом можно убедиться на конкретном примере. Легко проверить, что однородная краевая задача в шаре радиуса а

при имеет нетривиальное решение

где С — произвольная постоянная.

В отличие от уравнения Лапласа внутренняя задача Неймана для уравнения также имеет единственное решение. Доказательство следует из приведенного рассуждения, поскольку оно справедливо и при на

3. Краевые задачи для уравнения ...

Внутренние краевые задачи для уравнения могут иметь неединственное решение. Это связано с тем, что собственные значения оператора Лапласа

неотрицательны (для третьей краевой задачи — при Поэтому значение может совпадать с собственным значением соответствующей краевой задачи.

Рассмотрим для примера задачу Дирихле

Если не совпадает ни с одним собственным значением оператора Лапласа для задачи Дирихле в области то задача (3.5) имеет только тривиальное решение. Это означает, что соответствующая задача с неоднородным граничным условием не может иметь более одного решения, т. е. классическое решение единственно. В этом случае область часто называют «нерезонансной для данного значения

Если же совпадает с каким-либо собственным значением оператора Лапласа для задачи Дирихле то задача (3.5) имеет ненулевое решение. Этим решением будут собственные функции

соответствующей задачи Штурма-Лиувилля. Поэтому при неоднородная задача имеет решение не всегда, а если имеет решение, то оно неединственно.