9. Линейная независимость цилиндрических функций

Для доказательства линейной независимости функций Бесселя и Ханкеля достаточно показать, что их определитель Вронского отличен от нуля. Проведем доказательство для функции Ханкеля первого рода.

Пусть пока где целое. В силу формулы (2.42) получаем

Из формулы (1.4), полученной для уравнения специальных функций, следует, что определитель Вронского, построенный на решениях уравнения Бесселя, должно иметь вид

где C - зависящая от постоянная. Найдем ее.

Из формулы (2.16) получаем

где функция ограничена в точке

Аналогично из формулы (2.17) вытекает, что

где функция ограничена в точке

Дифференцируя (2.47) и (2.48), имеем

Используя формулы (2.47) — (2.49), определитель Вронского можно записать следующим образом:

а заменяя по формулам (2.47), (2.48), окончательно получим

где функция ограничена в точке

Сравнивая формулы (2.46) и (2.50), будем иметь

Используя свойства гамма-функции (см. § , получим

Подставляя (2.51) в (2.46), имеем

отсюда с учетом формулы (2.45)

Напомним, что эта формула получена в предположении, что Однако из ее вида следует, что она справедлива и при поскольку в этом случае функции линейно зависимы (см. § 2, п. 3) и определитель Вронского для них равен нулю. Формула (2.53) также справедлива при любом Поскольку из (2.44) вытекает, что

то с учетом (2.53) получим

Приведем, наконец, еще одну формулу, следующую из свойств функций Ханкеля и формул (2.44):

Из полученных выражений для определителей Вронского вытекает попарная линейная независимость функций при любом и линейная независимость при нецелых значениях Пары линейно независимых цилиндрических функций образуют фундаментальные системы решений уравнения Бесселя.

Уместно заметить, что рассмотренные свойства линейной независимости частных решений уравнения Бесселя аналогичны свойствам линейной независимости частных решений уравнения

В заключение приведем формулы, описывающие поведение цилиндрических функций при малых значениях аргумента. Из формулы (2.16) вытекает асимптотика в нуле функции Бесселя:

Поскольку по доказанному функции Бесселя и Неймана линейно независимы, из формулы (2.54) и доказанной в § 1 леммы следует, что функция Неймана имеет при логарифмическую особенность, а при имеет полюс порядка. Приведем формулы, описывающие поведение функции Неймана при малых значениях аргумента:

Поведение в окрестности точки функций Ханкеля первого и второго рода определяется поведением в окрестности точки функций Бесселя и Неймана и формулами (2.44).