3. Полнота и замкнутость системы присоединенных функций Лежандра

Докажем лемму, используемую в дальнейшем для доказательства полноты системы присоединенных функций Лежандра.

Лемма 4.2. Для всякой непрерывной на отрезке функции можно построить такую непрерывную на функцию что функция приближает в среднем функцию на отрезке

Доказательство. В качестве функции можно взять, например, функцию

где а постоянные выбираются из условия непрерывности функции в точках соответственно. При таком построении функции функция непрерывна на

Покажем, что функция (4.7) приближает в среднем функцию на отрезке Поскольку непрерывны на отрезке то ограничены на отрезке выбирая общую константу можем написать

Поэтому, учитывая, что

получим

Из формулы (4.8) вытекает, что для любого выбирая получим

т. е. что функция приближает в среднем функцию на отрезке

Замечание. Если ввести норму пространства

то доказанная лемма утверждает, что функцию можно приблизить с любой заданно! точностью с помощью функции (4.7) в норме : для любого можно построить функцию по формуле (4.7) такую, что

Перейдем к доказательству основной теоремы.

Теорема 4.5. Система присоединенных функций Лежандра полна в

Доказательство. Пусть задана некоторая функция Известно, что для любого существует

непрерывная на отрезке функция такая, что

Согласно лемме 4.2 для любого существует функция где непрерывна на отрезке такая, что

Согласно теореме Вейерштрасса функцию можно равномерно приблизить на отрезке системой полиномов, т. е. для любого найдется такая система коэффициентов и такое число что

Умножая левую часть неравенства (4.12) на (и тем самым усиливая его) и учитывая (4.1), получим

следовательно,

Наконец, из неравенства (4.10), (4.11) и (4.13), применяя неравенство треугольника для нормы, получим

при соответствующем выборе

Последнее неравенство доказывает полноту системы присоединенных функций Лежандра в пространстве

Следствие 1. Поскольку присоединенные функции Лежандра как собственные функции задачи Штурма-Лиувилля (4.6) ортогональны с весом 1 при различных

то из доказанной теоремы вытекает замкнутость системы присоединенных функций Лежандра.

Из следствия 1 непосредственно вытекает

Следствие 2. Система присоединенных функций Лежандра при каждом исчерпывает все собственные функции задачи Штурма-Лиувилля (4.6).

В силу общих свойств собственных функций, для присоединенных функций Лежандра имеет место теорема разложимости Стеклова.

Теорема 4.6. Всякая функция дважды непрерывно дифференцируемая на отрезке и обращающаяся в нуль на его концах разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по присоединенным функциям Лежандра :

где коэффициенты Фурье равны

Для вычисления коэффициентов разложения необходимо иметь формулу для квадрата нормы Выведем ее.

Обозначим Тогда

Подстановки обращаются в нуль, а для вычисления интеграла в правой части последней формулы воспользуемся формулой (4.3), переписав ее в виде

Умножим (4.15) на

и, поменяв в последнем равенстве индекс на подставим результат в интеграл в правой части (4.14):

Так как

то

а поскольку

то

Учитывая, наконец, что

окончательно получим