4. Неоднородное граничное условие второго рода

Кратко остановимся на начально-краевой задаче для однородного уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой с неоднородным граничным условием второго рода

Построим решение данной задачи, исходя из физических соображений, а затем проверим удовлетворение его требуемым условиям. Граничное условие означает, что задан поток тепла, втекающего в стержень через сечение причем плотность потока в силу закона Ньютона определяется выражением

где коэффициент теплопроводности, связанный с коэффициентом температуропроводности соотношением Поэтому в силу принципа суперпозиции, воспользовавшись выражением (11.27) для функции Грина полуограниченного стержня при можно записать решение поставленной задачи в виде

Очевидно, что это выражение удовлетворяет в области однородному уравнению и нулевым начальным условиям. Проверим выполнение граничного условия:

Сделав в данном интеграле замену переменной интегрирования получим

откуда, переходя к пределу при находим

На строгом обосновании проведенных здесь формальных рассмотрений останавливаться не будем.