§ 3. КЛАССИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ

1. Определение классических ортогональных полиномов

Определение. Будем называть систему полиномов всех степеней, заданных на отрезке системой классических ортогональных полиномов, если они ортогональны на с весом удовлетворяющим на интервале дифференциальному уравнению Пирсона

где и - заданные функции, удовлетворяющие условию

Граничные точки а и отрезка могут соответственно принимать значения Функция -линейная функция

коэффициенты которой определяются из условия (3 2). Функция имеет вид

В уравнение для веса входят два параметра линейной функции . Общее решение уравнения (3.1) имеет вид

Формулы (3.1) — (3.5) определяют целый класс классических ортогональных полиномов и позволяют получить для них явные представления через функции

Классический ортогональный полином является полиномом степени. Ниже будут рассмотрены наиболее важные для приложений конкретные примеры классических ортогональных полиномов.