§ 7. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Метод разделения переменных и метод функции Грина позволяют получить явное решение краевых задач только в случае областей простейшего вида. Сведение краевых

задач при помощи поверхностных потенциалов к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода удобно для исследования разрешимости краевых задач. Метод интегральных уравнений дает также алгоритм численного решения краевых задач для достаточно широкого класса областей.

В этом параграфе метод интегральных уравнений применяется для исследования внутренних и внешних краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа в трехмерном случае. Получены интегральные уравнения для этих задач и изучены вопросы их разрешимости.

1. Основные свойства интегральных уравнений

Интегральные уравнения широко применяются при исследовании краевых задач математической физики. В нашем курсе они будут использованы при изучении разрешимости краевых задач для уравнения Лапласа.

В этом параграфе будут приведены (без доказательства) основные теоремы теории интегральных уравнений Фредгольма второго рода.

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода

при этом будем считать, что конечная область размерности Ядро предполагается вещественным. Функция называется союзным ядром, а интегральное уравнение с союзным ядром

называется союзным интегральным уравнением. В дальнейшем предполагается, что ядро либо непрерывно но совокупности аргументов, либо полярно, т. е. представимо в виде

где и функция непрерывна. Если то ядро называется слабо полярным.

Число Я называется собственным значением ядра если существует нетривиальное решение однородного уравнения

Нетривиальное решение уравнения (7.3) называется собственной функцией, соответствующей данному собственному значению х.

Вещественное, симметричное, непрерывное или полярное ядро, отличное от тождественного нуля, имеет по крайней мере хотя бы одно собственное значение. Множество собственных значений не более чем счетно и не имеет конечных точек сгущения. Если число собственных значений конечно, то ядро является вырожденным. Рангом собственного значения называется максимальное число линейно независимых собственных функций, соответствующих этому собственному значению. Ранг собственного значения конечен.

Вопросы разрешимости неоднородного интегрального уравнения решаются теоремами Фредгольма.

Первая теорема Фредгольма. Если X не является собственным значением ядра (т. е. однородное уравнение (7.3) имеет только тривиальное решение), то неоднородное уравнение (7.1) и союзное ему уравнение (7.2) имеют и при этом единственные решения при любых непрерывных правых частях.

Вторая теорема Фредгольма. Если X является собственным значением ядра то оно будет и собственным значением союзного ядра, и ранги их одинаковы.

Третья теорема Фредгольма. Если X является собственным значением ядра то неоднородное уравнение (7.1) либо не имеет решения, либо решение его существует, но неединственно. Для разрешимости уравнения (7.1) необходимо и достаточно, чтобы правая часть уравнения была ортогональна всем собственным функциям союзного ядра, соответствующим данному значению

Заметим, что теоремы Фредгольма справедливы и в том случае, если интегральное уравнение рассматривать в пространстве

Напомним еще теорему Гильберта-Шмидта, справедливую для случая непрерывного или слабо полярного ядра.

Теорема Гильберта — Шмидта. Функция истокообразно представимая при помощи ядра т. е. представимая в виде

разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся в ряд по собственным функциям данного ядра.

Доказательство приведенных выше теорем можно найти в руководстве по теории интегральных уравнений.