Главная > Лекции по математической физике
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 7. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Метод разделения переменных и метод функции Грина позволяют получить явное решение краевых задач только в случае областей простейшего вида. Сведение краевых

задач при помощи поверхностных потенциалов к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода удобно для исследования разрешимости краевых задач. Метод интегральных уравнений дает также алгоритм численного решения краевых задач для достаточно широкого класса областей.

В этом параграфе метод интегральных уравнений применяется для исследования внутренних и внешних краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа в трехмерном случае. Получены интегральные уравнения для этих задач и изучены вопросы их разрешимости.

1. Основные свойства интегральных уравнений

Интегральные уравнения широко применяются при исследовании краевых задач математической физики. В нашем курсе они будут использованы при изучении разрешимости краевых задач для уравнения Лапласа.

В этом параграфе будут приведены (без доказательства) основные теоремы теории интегральных уравнений Фредгольма второго рода.

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода

при этом будем считать, что конечная область размерности Ядро предполагается вещественным. Функция называется союзным ядром, а интегральное уравнение с союзным ядром

называется союзным интегральным уравнением. В дальнейшем предполагается, что ядро либо непрерывно но совокупности аргументов, либо полярно, т. е. представимо в виде

где и функция непрерывна. Если то ядро называется слабо полярным.

Число Я называется собственным значением ядра если существует нетривиальное решение однородного уравнения

Нетривиальное решение уравнения (7.3) называется собственной функцией, соответствующей данному собственному значению х.

Вещественное, симметричное, непрерывное или полярное ядро, отличное от тождественного нуля, имеет по крайней мере хотя бы одно собственное значение. Множество собственных значений не более чем счетно и не имеет конечных точек сгущения. Если число собственных значений конечно, то ядро является вырожденным. Рангом собственного значения называется максимальное число линейно независимых собственных функций, соответствующих этому собственному значению. Ранг собственного значения конечен.

Вопросы разрешимости неоднородного интегрального уравнения решаются теоремами Фредгольма.

Первая теорема Фредгольма. Если X не является собственным значением ядра (т. е. однородное уравнение (7.3) имеет только тривиальное решение), то неоднородное уравнение (7.1) и союзное ему уравнение (7.2) имеют и при этом единственные решения при любых непрерывных правых частях.

Вторая теорема Фредгольма. Если X является собственным значением ядра то оно будет и собственным значением союзного ядра, и ранги их одинаковы.

Третья теорема Фредгольма. Если X является собственным значением ядра то неоднородное уравнение (7.1) либо не имеет решения, либо решение его существует, но неединственно. Для разрешимости уравнения (7.1) необходимо и достаточно, чтобы правая часть уравнения была ортогональна всем собственным функциям союзного ядра, соответствующим данному значению

Заметим, что теоремы Фредгольма справедливы и в том случае, если интегральное уравнение рассматривать в пространстве

Напомним еще теорему Гильберта-Шмидта, справедливую для случая непрерывного или слабо полярного ядра.

Теорема Гильберта — Шмидта. Функция истокообразно представимая при помощи ядра т. е. представимая в виде

разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся в ряд по собственным функциям данного ядра.

Доказательство приведенных выше теорем можно найти в руководстве по теории интегральных уравнений.

1
Оглавление
email@scask.ru