5. Колебания струны под действием мгновенного сосредоточенного импульса

Предположим, что в начальный момент точкам однородной струны сообщают постоянную скорость например, ударяя по струне молоточком. Тем самым к этому участку струны прикладывается импульс равный измерению количества движения при где постоянная линейная плотность струны. Таким образом, нужно решить задачу о колебаниях бесконечной струны с нулевым начальным отклонением и начальной скоростью, равной постоянной на интервале и нулю вне этого интервала. Решение этой задачи проанализировано в примере Если теперь совершить предельный переход при увеличивая одновременно начальную скорость так, чтобы суммарный начальный импульс сообщенный струне, оставался постоянным, то в пределе из шести областей верхней полуплоскости остаются только три: первая, третья и пятая (рис. 7.5).

Рис. 7.5

Рис. 7.6

При этом в областях решение равно нулю, а в области III равно предельному значению при решения примера 2 п. 4:

Можно условно говорить, что эти отклонения вызываются мгновенным точечным импульсом

Рассмотрим на фазовой плоскости две характеристики, проходящие через точку (рис. 7.6):

Эти характеристики определяют два угла называемых соответственно верхним и нижним характеристическими углами точки Действие мгновенного точечного импульса в точке вызывает отклонение, равное внутри верхнего характеристического угла точки и нулю вне его.

Эту функцию естественно называть функцией мгновенного сосредоточенного импульса, приложенного к точке струны в момент времени

С другой стороны, из этих рассуждений следует, что отклонение в произвольной точке х струны в момент времени вызываемое мгновенным импульсом 10 в точке в момент времени зависит от того, находится ли точка фазовой плоскости внутри верхнего характеристического угла точки или нет. Если точка расположена внутри верхнего характеристического угла точки то если нет, то

Предположим теперь, что в момент времени струне сообщается распределенный импульс с плотностью распределения Отклонение, вызываемое таким импульсом, на основании принципа суперпозиции равно при

Если внешняя сила, распределенная непрерывно в пространстве и во времени, начинает действовать в момент времени причем начальные смещения и скорости точек струны нулевые, то в силу принципа суперпозиции отклонение равно

Отметим, что из формулы (7.19) следует, что отклонение точек струны под действием распределенной с плотностью силы определяется лишь значениями функции внутри нижнего характеристического угла точки на фазовой плоскости и не зависит от распределения этой силы вне данного характеристического угла. В этом проявляется эффект конечной скорости распространения внешних воздействий на точки струны.

Формула (7.19) получена на физическом уровне строгости. Получим теперь строго математически более общую формулу, из которой будет следовать формула (7.19).

Напомним известные из курса математического анализа формулы Грина, которые сформулируем в удобном для нас виде. Пусть функция непрерывно дифференцируема в области и непрерывна в области где двумерная область с границей в плоскости Тогда имеют место следующие формулы:

где контур проходится в положительном направлении (чтобы область находилась слева от направления движения).

Предположим, что классическое решение задачи (7.1), (7.2) для неоднородного уравнения колебаний с неоднородными начальными условиями существует.

Возьмем на фазовой плоскости точку и построим характеристический треугольник (рис. 7.7). Проинтегрируем уравнение (7.1) колебаний по этому треугольнику, предварительно умножив его на 1/2а. В результате получим

Рис. 7.7

Применим к интегралам в левой части формулы Грина (7.20):

Поскольку на отрезке а на отрезках характеристик и имеют место соотношения из формул (7.22) имеем

Из (7.21) и (7.23) следует формула

Учитывая, что точки имеют соответственно координаты , и используя начальные условия (7.2), окончательно получаем формулу для решения задачи

Заметим, что формула (7.24) представляет решение задачи (7.1), (7.2) в виде суммы решения двух задач. Если положить в то формула (7.24) дает решение задачи для однородного уравнения колебаний и неоднородных начальных условий и совпадает с полученной в п. 2 § 7 формулой Даламбера (7.10). При формула (7.24) представляет решение задачи для неоднородного уравнения колебаний с однородными начальными условиями. В этом случае она совпадает с формулой (7.19), полученной из физических соображений.