2. Свойства функции Грина задачи Дирихле

Из определения функции Грина следует, что она положительна всюду в

Действительно, построим сферу достаточно малого радиуса с центром в точке На сфере и внутри нее В силу принципа максимума между сферой следовательно, и всюду в

Получим оценку для функции сверху. Для функции являющейся решением задачи (4.7), справедлив принцип максимума. Поэтому всюду в Следовательно,

Таким образом, для функции всюду в справедлива оценка

Покажем, что функция Грина симметрична:

Для доказательства этого введем обозначения

Окружим точки сферами соответственно достаточно малого радиуса. К функциям и и в области между применим вторую формулу Грина. Учитывая граничные условия для функции Грина, получим

Рассматривая внутри согласно (4.4), получим

Аналогично

Подставляя (4.9) и (4.10) в (4.8), получаем

т. е.

Функция Грина задачи Дирихле допускает очень простую и ясную физическую интерпретацию. Если вспомнить, что электростатический потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, то становится очевидно, что первое слагаемое в представлении функции Грина

представляет собой потенциал точечного заряда, расположенного в точке в неограниченном пространстве, а второе — потенциал поля зарядов, индуцированных на заземленной проводящей поверхности Сама же функция Грина представляет потенциал точечного электрического заряда в присутствии заземленной проводящей поверхности