§ 2. ПРИНЦИП МАКСИМУМА

Докажем следующее важное свойство классического решения уравнения теплопроводности.

Теорема 6.1 (принцип максимума). Решение однородного уравнения теплопроводности

непрерывное в замкнутом цилиндре во внутренних точках этого цилиндра не может принимать значений больших, чем максимальное из начального и граничного значений.

Доказательство. Нам нужно доказать, что если

то

Доказательство будем вести методом от противного. Пусть в некоторой внутренней точке цилиндра функция и достигает своего максимального значения, большего Таким образом,

Введем вспомогательную функцию

где - постоянное число, которое мы определим в дальнейшем. Очевидно, и

если выбрать так, чтобы

Так как функция непрерывна в замкнутом цилиндре то она должна в некоторой точке достигать своего максимального значения. Очевидно, что

откуда следует, что точка — внутренняя точка цилиндра поскольку в силу (2.3) на границе цилиндра (т. е. на границе области и в начальный момент) максимальное значение функции не превосходит величины

Итак,

Поскольку в точке функция достигает своего максимального значения, то в этой точке выполняются условия максимума

Заметим, что в формуле (2.4) при а при

Из формул (2.2) и (2.4) следует, что

Функция является решением уравнения (2.1), которое можно записать в следующем виде:

Сравнивая (2.5) и (2.6) и учитывая, что по условию приходим к выводу, что в точке уравнение (2.6) не выполняется. Полученное противоречие доказывает теорему.

Следствия.

1) Для уравнения параболического типа имеет место принцип минимума.

Теорема 6.2 (принцип минимума). Решение однородного уравнения теплопроводности (2.1), непрерывное в замкнутом

цилиндре во внутренних точках этого цилиндра не может принимать значений меньших, чем минимальное из начального и граничного значений.

Эта теорема сразу следует из доказанного принципа максимума, если учесть, что функция имеет максимальное значение там, где функция имеет минимальное значение. Из принципа максимума и минимума следует двухсторонняя оценка:

2) Принцип сравнения 1.

Теорема 6.3. Если два решения уравнения теплопроводности (1.1), непрерывные в замкнутом цилиндре удовлетворяют условиям

и

то

Доказательство. Рассмотрим функцию В силу линейности уравнения теплопроводности функция удовлетворяет однородному уравнению (2.1), причем как классическое решение этого уравнения функция непрерывна в замкнутом цилиндре Так как из условий (2.7) и (2.8) следует, что

применяя к функции принцип минимума, получим

откуда следует (2.9).

3) Принцип сравнения 2.

Теорема 6.4. Если два решения уравнения теплопроводности (1.1), непрерывные в замкнутом цилиндре удовлетворяют условиям

и

то

Доказательство. Рассмотрим функции

Эти функции удовлетворяют однородному уравнению теплопроводности (2.1) и непрерывны в замкнутом цилиндре Применяя принцип сравнения 1 к функциям и к функциям и получим

откуда следует (2.10).

Заметим, что доказанный принцип максимума не противоречит существованию классического решения уравнения теплопроводности (2.1), равного постоянной.

Физически принцип максимума для уравнения (2.1) означает отсутствие флуктуаций: температура тела во внутренней точке не может стать большей, чем температура тела в начальный момент или на границе тела при отсутствии источников .

Принцип максимума выполняется и для общего уравнения параболического типа, описывающего самые различные физические явления, а не только процессы распространения тепла. Имеет место следующая теорема

Теорема (принцип максимума для общего параболического уравнения). Пусть функция непрерывна в замкнутом цилиндре и удовлетворяет в открытом цилиндре однородному уравнению

где Тогда функция может достигать своих положительного максимального и отрицательного минимального значения только либо при либо на поверхности границы области

Отметим, что если функция имеет физический смысл температуры, то при положительной температуре и условии член уравнения описывает процесс поглощения тепла.