ДОПОЛНЕНИЕ

I. РАЗЛИЧНЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Пусть декартовы координаты некоторой точки, а криволинейные ортогональные координаты этой точки. Квадрат элемента длины выражается формулой

где

— метрические коэффициенты, или коэффициенты Ламе. Ортогональная координатная система полностью характеризуется тремя метрическими коэффициентами

Приведем общее выражение для операторов и оператора Лапласа в ортогональной криволинейной системе координат:

где — единичные базисные векторы, произвольный вектор, — скаляр,

Прямоугольные координаты

где и к — направляющие единичные векторы осей х, у, z.

Цилиндрические координаты

связаны с прямоугольными координатами уравнениями

Координатные поверхности: цилиндры, плоскости, плоскости.

Метрические коэффициенты равны

так что

Сферические координаты

связаны с прямоугольными координатами формулами

Координатные поверхности: концентрические сферы, конусы, плоскости.

Метрические коэффициенты равны

так что

где

— угловая часть оператора Лапласа в сферической системе координат.

II. НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

Обозначения: а — векторная функция, и — скалярная функция.

где