§ 2. СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

В гл. V были подробно рассмотрены свойства гармонических функций, т. е. решений уравнения Лапласа. Сейчас будем исследовать свойства решений уравнения где с — некоторая постоянная.

1. Фундаментальные решения уравнения Гельмгольца

При изучении свойств гармонических функций важную роль играло фундаментальное решение уравнения Лапласа. Построим фундаментальное решение уравнения

Рассмотрим сначала трехмерный случай. Будем действовать по той же схеме, что и при построении фундаментального решения уравнения Лапласа. Пусть некоторая фиксированная точка. Введем сферическую систему координат с

центром в точке Найдем решение уравнения зависящее только от (радиально-симметричное решение). Расписывая оператор Лапласа в сферической системе координат и учитывая, что и зависит только от получим

Поскольку

то, сделав замену

уравнение (2.1) запишем в виде

Рассмотрим отдельно случаи Пусть -действительно, Уравнение (2.2) принимает вид

Решение его можно записать в виде

или, используя вещественные линейно независимые решения, в виде

При действительно, решение уравнения (2.2) имеет вид

Таким образом, найдены следующие радиально-симметричные относительно точки решения уравнения

Отметим, что все эти решения при имеют одинаковую особенность, совпадающую с особенностью фундаментального решения уравнения Лапласа.

Рассмотрим поведение этих решений при В случае одно решение экспоненциально убывает

на бесконечности, второе неограниченно возрастает на бесконечности и физического смысла не имеет. Фундаментальным решением при называется решение

При ситуация более сложная, поскольку оба решения

а также действительное решение

при убывают по одному и тому же закону. Еще одно действительное решение мы не рассматриваем, так как оно ограничено во всем пространстве.

При изучении уравнения в ограниченной области решения (2.3), (2.4) эквивалентны и каждое из них является фундаментальным решением этого уравнения.

Рассмотрим физическую интерпретацию этих решений в неограниченном пространстве и выясним, чем они отличаются друг от друга. Ранее мы установили (гл. VII), что волновое уравнение

описывает распространение волн в однородном пространстве (а — скорость распространения волн). Если рассматривать установившиеся гармонические волны, зависящие от времени по закону

то для амплитуды волны получаем интересующее нас уравнение

Таким образом, сферически-симметричные относительно точки решения уравнения (2.5), построенные на основе (2.3) — (2.4), имеют вид

Решение представляет собой сферическую волну, расходящуюся от точки М (волну, уходящую на бесконечность); решение представляет собой волну, сходящуюся к точке М (приходящую из бесконечности); решение стоячая волна с особенностью в точке (содержащая волну, приходящую из бесконечности). Если мы считаем, что все источники волн расположены в конечной области пространства, то два последних решения, содержащие приходящие из бесконечности волны, не имеют физического смысла. Решением, имеющим физический смысл, является решение

Решения представляют собой амплитуды распространяющихся сферических волн. Они называются фундаментальными решениями уравнения Гельмгольца в неограниченной области. Для выделения одного из них следует на бесконечности поставить дополнительное условие, которое будет рассмотрено позже.

Еще раз подчеркнем, что в ограниченной области решения (2.3), (2.4) эквивалентны.

Рассмотрим теперь плоский случай. Введем полярную систему координат с началом в точке Решение и, зависящее только от удовлетворяет уравнению

или

При это уравнение Бесселя нулевого порядка. Следовательно, его общее решение имеет вид

или

При есть уравнение для функций Бесселя чисто мнимого аргумента нулевого порядка, и его общее решение можно записать в виде

При фундаментальным решением уравнения называется функция

экспоненциально убывающая на бесконечности и при имеющая особенность вида

При ситуация аналогична трехмерному случаю. В ограниченной области решения

эквивалентны и являются фундаментальными решениями уравнения Гельмгольца Напомним, что эти функции при имеют логарифмическую особенность, поскольку

В неограниченной области фундаментальным решением уравнения Гельмгольца при является одна из функций в зависимости от того, какое дополнительное условие поставлено на бесконечность. Напомним также поведение этих функций на бесконечности:

Отметим, что все фундаментальные решения уравнения на плоскости имеют такую же логарифмическую особенность, как и фундаментальное решение уравнения Лапласа на плоскости.

2. Формулы Грина

В гл. III получены первая и вторая формулы Грина для общего эллиптического самосопряженного оператора. Естественно, что они справедливы и для оператора При выводе третьей формулы Грина использовалось фундаментальное решение уравнения Лапласа. Мы только что установили, что особенности фундаментальных решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца совпадают. Поэтому для вывода третьей формулы Грина для оператора нужно повторить все те же рассуждения, которые проведены в § 1 гл. Мы этого делать не будем, а приведем в качестве примера окончательную формулу для случая Она имеет вид

В формуле (2.7), как и прежде, -дважды непрерывно дифференцируемая в функция, непрерывная вместе с первыми производными в поверхность Ляпунова, внешняя нормаль к (внешняя по отношению к области В формуле (2.7) можно использовать и другое фундаментальное решение. Аналогичная формула имеет место и при

Из (2.7) сразу получается интегральное представление решения уравнения

в любой внутренней точке области

Отсюда, так же как и для гармонических функций, получаем, что любое решение уравнения Гельмгольца в любой внутренней точке области имеет производные всех порядков.