5. Полиномы Лежандра

Полиномы Лежандра являются важным частным случаем полиномов Якоби, соответствующим и обозначаются Таким образом, При этом согласно и в силу (3.1)

Тогда уравнение (3.11) принимает вид

Уравнение (3.29) носит название уравнения Лежандра. Краевая задача Штурма-Лиувилля для полиномов Лежандра соответственно имеет вид

Собственные значения определяются формулой (3.27) при

Из (3.25) получается формула Родрига для полиномов Лежандра

Получим выражение для нормы полиномов Лежандра, для чего используем формулу (3.17):

Из (3.31) имеем

откуда

Вычислим интеграл в правой части (3.32):

т. е.

и, применяя последнюю формулу раз, будем иметь

поскольку

Окончательно получаем

Заметим, что формула (3.33) сразу следует из формулы (3.28) при

Производящую функцию для полиномов Лежандра получим, воспользовавшись формулой (3.23). Уравнение (3.22) в случае полиномов Лежандра принимает вид

Нетрудно показать, что ближайшим к корню при малых будет корень

Из (3.23) имеем

и поскольку

то

Сделав в последней формуле замену на и сохранив обозначение для производящей функции, получим

Производящая функция полиномов Лежандра имеет простой геометрический смысл. Пусть радиусы-векторы точек в сферической системе координат, угол

между этими радиусами-векторами. Предположим для определенности, что Тогда расстояние между точками имеет вид

и

Сравнивая последнюю формулу с формулой (3.34), получим

Из общей теоремы для классических ортогональных полиномов следует теорема о нулях для полиномов Лежандра.

Теорема 4.2. Полином Лежандра имеет ровно простых нулей, расположенных строго внутри отрезка

Из общих свойств классических ортогональных полиномов вытекают следующие свойства полиномов Лежандра:

система полиномов Лежандра полна на отрезке ; система полиномов Лежандра замкнута;

система полиномов Лежандра исчерпывает все собственные функции краевой задачи Штурма-Лиувилля (3.30);

для системы полиномов Лежандра имеет место теорема разложимости (Стеклова).

Теорема 4.3. Всякая дважды непрерывно дифференцируемая на отрезке функция разложима в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по полиномам Лежандра

где

— коэффициенты Фурье функции

Формула (3.34) позволяет получить полезное рекуррентное соотношение для полиномов Лежандра. Продифференцируем (3.34) слева и справа по

откуда

Приравнивая в последней формуле коэффициенты при одинаковых степенях получим искомое рекуррентное соотношение

Полагая в формуле получим

откуда следовательно, В силу формулы Родрига в зависимости от четности или нечетности индекса являются четными или нечетными функциями. Поэтому Используя формулу Родрига (3.31), выпишем явные выражения для первых пяти полиномов Лежандра: