§ 8. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

1. Теорема существования

Сформулируем прежде всего обобщенный принцип суперпозиции в той форме, которая нам понадобится для доказательства теоремы существования.

Лемма 6.2 (обобщенный принцип суперпозиции). Если функция по переменным удовлетворяет

линейному дифференциальному уравнению в частных производных при любом фиксированном значении параметра а, то интеграл

также является решением уравнения если производные, входящие в линейный дифференциальный оператор можно вычислять путем дифференцирования под знаком интеграла.

Доказательство обобщенного принципа суперпозиции очевидно:

Напомним также достаточные условия вычисления производной несобственного интеграла, зависящего от параметра:

путем дифференцирования по параметру под знаком интеграла:

а) частная производная является непрерывной функцией переменных х и а в области их изменения;

б) функция кусочно-непрерывна и ограничена (или абсолютно интегрируема);

в) интеграл, полученный в результате формального дифференцирования подынтегральной функции, сходится равномерно.

Докажем следующую теорему.

Теорема 6.9. Если непрерывная и ограниченная на бесконечной прямой функция, то формула (7.17) определяет при классическое решение задачи (7.7), (7.2).

Доказательство. 1) Докажем прежде всего существование и ограниченность функции представленной формулой Пуассона (7.17). Сделаем в интеграле (7.17) замену

Тогда, учитывая, что функция ограничена:

получим

поскольку

2) Для доказательства того, что функция представимая формулой (7.17), удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности (7.7), используем обобщенный принцип суперпозиции. Поскольку все частные производные функции при непрерывны и по условию теоремы функция непрерывна и ограничена, то достаточно доказать, что интеграл, полученный после формального дифференцирования интеграла Пуассона (7.17), сходится равномерно.

Проведем это исследование на примере вычисления первой производной по Достаточно доказать равномерную сходимость интеграла

Поскольку

то нужно доказать равномерную сходимость интеграла

Сделаем в интеграле (8.2) замену переменных Тогда, учитывая ограниченность функции получим, что в области подынтегральная функция мажорируется независящей от функцией

интеграл от которой сходится, ледовательно, интеграл (8.2) сходится равномерно в области

Аналогично доказывается равномерная сходимость в области интеграла

Итак, в силу обобщенного принципа суперпозиции функция представленная интегралом Пуассона (7.17), удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности (7.7) в области а в силу произвольности и в области

3) Осталось доказать, что функция (7.17) непрерывно примыкает к граничной функции

Сделав в интеграле Пуассона (7.17) замену получим

Поскольку подынтегральная функция мажорируется функцией интеграл от которой сходится, то интеграл (8.3) сходится равномерно. Так как подынтегральная функция непрерывна, то, применяя теорему о предельном переходе под знаком интеграла, получим

Следовательно, функция непрерывная в области и непрерывно примыкает к начальной функции

Теорема доказана.

Замечание 1. Условия, наложенные на функцию можно существенно ослабить. В частности, если функция кусочно-непрерывная и ограниченная на бесконечной прямой с конечным числом точек разрыва, то формула (7.17) определяет решение однородного уравнения (7.7) при ограниченное при и непрерывно примыкающее к функции в точках ее непрерывности. Такие условия, накладываемые на функцию оказываются более широкими, чем в теореме единственности 6.8, где требуется непрерывность на всей прямой Это связано с методом доказательства теоремы единственности, основанном на принципе максимума. Имеет место и единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности при более широких условиях на функцию

Замечание 2. В доказанных теоремах существования и единственности предполагалось, что функция является ограниченной на всей прямой Это условие также можно

ослабить. Например, функция может быть растущей при функцией с ограниченной степенью роста: найдутся такие положительные постоянные что