§ 12. ФОРМУЛА ГРИНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

При изучении уравнения Лапласа широко использовались формулы Грина. В частности, при выводе представлений решения краевых задач через соответствующую функцию Грина мы опирались на третью формулу Грина. В этом параграфе показано, что аналогичные идеи можно применять и при изучении уравнения теплопроводности, и единообразным методом получены формулы, представляющие решения начально-краевых задач для уравнения теплопроводности через соответствующие функции Грина.

Выведем для уравнения теплопроводности формулу, аналогичную третьей формуле Грина. Для вывода используем формальный метод, указанный в конце § 1 гл. V.

Прежде всего заметим, что фундаментальное решение уравнения теплопроводности

переменным удовлетворяет уравнению

Пусть - решение неоднородного уравнения

Умножим (12.1) на на вычтем одно из другого и проинтегрируем по области и по от 0 до

Используя вторую формулу Грина, свойства -функции и учитывая, что при из (12.3) получаем

Поскольку

(учтено, это ) из (12.4) имеем

Формула (12.5) аналогична третьей формуле Грина для оператора Лапласа. Будем называть ее формулой Грина для уравнения теплопроводности.

Покажем, что, используя (12.5), можно, аналогично тому как это сделано для уравнения Лапласа, ввести функцию Грина для уравнения теплопроводности и получить интегральное представление решения начально-краевой задачи.

Пусть решение однородного уравнения

удовлетворяющее условию

Заметим, что функция при этом будет зависеть только от разности следовательно, по переменной она удовлетворяет уравнению теплопроводности

и условию

Умножим (12.6) на на вычтем одно из другого, проинтегрируем по области и по от 0 до и проведем преобразования, аналогичные только что сделанным. Тогда получим

Складывая (12.5) и (12.7) и вводя обозначение

получим соотношение

Из формулы (12.8) можно получить интегральные представления решений начально-краевых задач. Для этого функцию выберем так, чтобы функция удовлетворяла нулевому граничному условию

Тогда для решения начально-краевой задачи с граничным условием Дирихле получаем формулу

Для решения начально-краевой задачи с граничным условием Неймана

Для решения начально-краевой задачи с граничным условием третьего рода

Функция Грина для всех трех граничных условий определяется единообразно.

Определение. Функция называется функцией Грина уравнения теплопроводности, если она удовлетворяет условиям:

где удовлетворяет однородному уравнению и нулевому начальному условию

Функция Грина определена при при она доопределяется нулем.

Заметим, что при таком подходе функция вводится и определяется аналогично тому, как это сделано для уравнения Лапласа.

Отметим также, что функция является решением следующей начально-краевой задачи:

Отсюда следует, что в силу единственности решения так определенная функция Грина совпадает с функцией Грина, введенной ранее другим способом.

Отдельно выпишем выражения для решения одномерной задачи:

Для задачи Дирихле

где -функция Грина задачи Дирихле.

Для задачи Неймана

где - функция Грина задачи Неймана.

Для третьей краевой задачи

где функция Грина третьей задачи.

Решения задачи для полубесконечной прямой

можно получить из формул (12.12) — (12.14), делая формальный предельный переход В результате получим:

а) граничное условие Дирихле :

где

б) граничное условие Неймана

где